最近在搞点云处理的项目，其中对于拉普拉斯图的相关处理中，使用到了内点法进行优化，于是开始着手学习。
1. 问题描述：（障碍函数法）
内点法用于求解带有约束的优化命题。
f0为优化目标函数，fi{i=1,...,m}（二阶可导的凸函数）以及Ax=b为约束函数。
存在最优解
，此时，有这样一对对偶变量
和
， 满足KKT条件：（这里完全不懂）
不等式使得求解困难，因此障碍函数法（内点法的一种）在原始的目标函数中引入一个障碍函数，或者惩罚函数，来代替约束条件中的不等式约束，这样，命题1就变成了：
函数应该满足的条件，当没有违反约束时，函数值为0，违反约束，函数值为正无穷，如图红色虚线所示：
红色虚线这个函数在某些点上是不可导的，因此并不适用。使用一个对数函数来拟合：
优化问题被转化为：
定义如下对数障碍：
命题变为：
2. Central Path
针对t > 0值，定义x*(t)为相应优化命题的解。那么，central path就是指所有点x*(t), t > 0的集合，其中的点被称为central points。central path上的点满足如下的充分必要条件，首先x*(t)都是严格可行的，即：
我们可以从对偶变量的角度进一步研究上式，给等号两边都乘以1/t, 我们有：
我们发现如果令
（8）
就取得了与2式中的第一个等式基本一致的结果。也就是说，x*(t)能最小化拉格朗日函数
是原命题中的一组可行的对偶变量，其实乐意理解为能使拉格朗日函数到数为0的就是对偶变量
那么此时，对偶命题的目标函数值为：
上述等式为(8)式带入的结果
我们记原命题（1）的目标函数的最小值为p*，那么由优化命题的对偶理论可知
，原命题与对偶命题的差记录为
被称为对偶间隙。
这里给一个算法框架：
Barrier Method:
3. 牛顿法求极值（针对Barrier Method的第一步）
在文章Convex Optimization中，介绍了如何利用牛顿法解Barrier Method的第一步解的问题。
问题描述:
使用二阶泰勒展开，该优化问题转换为：
二阶极小化问题：
定义
为x的Newton step.(我的理解是更新步长，论文原文解释见下)，
w为相伴最优对偶变量
给出一个最优条件下的线性逼近：
通过对x的线性拟合替换第二个方程的梯度项，以获得新的方程：
算法：
