整数加法Python 整数加法法则

计算机原理-整数加减法

• 1. 加法运算
• 2. 减法运算
• 3. 溢出与检测
• 4. 加法器

1. 加法运算

公式:

[ x + y ]_补 = [ x ]_补 + [ y ]_补 ( mod 2ⁿ⁺¹ )

推导过程: 略

2. 减法运算

公式:

[ x - y ]_补 = [ x ]_补 - [ y ]_补 = [ x ]_补 + [ - y ]_补 ( mod 2ⁿ⁺¹ )

同时得出一个重要推论:

[ - y ]_补 = - [ y ]_补 ( mod 2ⁿ⁺¹ )

对 [ y ]_补 所有位(包括符号位) “ 求反且最末位加1” , 即可得到 [ - y ]_补 , 记作 [ - y ]_补 = $\rightharpoonup$ [ y ]_补 + 2^{- n}, 其中 2^{- n} 表示最低位加1.

y > 0 和 y < 0时, 上式均成立.

3. 溢出与检测

• 溢出的定义

定点整数在运算过程中, 出现大于字长绝对值的现象, 称为 “溢出”.

• 溢出的分类

1. 正溢: 结果大于机器字长所有表示的最大正数. (如两个正数相加溢出后截断为负数)
2. 负溢: 结果大于机器字长所有表示的最大正数. (如两个负数相加溢出后截断为正数)

• 溢出的检测

方法一: 双符号位法

故名思义, 就是有两个位表示符号, 又称为“变形补码”:

1. 任何正数, 两个符号位都是0, 任何负数两个符号位都是1
2. 两个符号位同时参与运算, 两数进行以 2 ⁿ⁺² 为模的加法, 最高符号位的(向后)进位丢掉
3. 如果计算结果符号位为 “01”或“10”时, 表示发生溢出, 最高符号位永远表示结果的准确符号
   即符号位亦或结果为1时溢出, 溢出表达式位 V = S_f1$\bigoplus$ S2_f2
4. “01”表示正溢, “10”表示负溢

方法二: 单符号位法

1. 根据最高有效位的进位和符号位的进位来判断(向后的进位)
2. 最高有效位进位, 符号位无进位, 产生正溢
3. 最高有效位无进位, 符号位进位, 产生负溢
4. 溢出表达式V = C_f$\bigoplus$ C₀ , C_f表示符号位进位, C₀ 表示最高有效位的进位

4. 加法器

• 全加器

1. 全加器需考虑低位向本位进位和进位溢出检测, 共三个输入和三个输出
   
2. 逻辑表达式为 : S=A⊕B⊕Cin , Co=Cin(A⊕B)+AB

3. 其中A,B为要相加的数，Cin为进位输入；S为和，Cout是进位输出

• 半加器

1. 半加器不考虑低位向本位进位, 有两个输入端和两个输出
2. 输入端为A、B ；和为S ；向高位的进位为Ci+1
3. 逻辑表达式: S=A⊕B, C=AB

• 行波定位加法器

1. FA即全加器, 进位c16依赖于c15，c14，c13，…，c2，c1，c0, 对于32-bit，64-bit，128-bit等加法器，进位链将显得更加长

2. 行波进位加法器设计简单，只需要级联全加器即可
   
3. 缺点在于超长的进位链，限制了加法器的性能