摘要
本文介绍时间序列分析中的 GARCH 模型，阐述使用 mean model 和 volatility model 对收益率序列联合建模的方法。
1 引言
之前，我们推出了《写给你的时间序列分析》系列，通过四篇文章介绍了金融数据时序分析建模的基础知识。这四篇文章的内容分别为：
基础篇：介绍金融时序特性和进行时间序列分析的目的；解释时间序列分析中的核心概念：自相关性。
初级篇：说明时间序列建模的过程；介绍时间序列分析中的最基本模型：白噪声和随机游走。
进阶篇：介绍时间序列分析中常用的线性模型：AR、MA 以及 ARMA。
应用篇：利用 ARMA 对上证指数收益率序列建模，并以此产生交易信号、构建投资策略，以此说明时间序列分析在量化投资领域的应用。
通过前述四篇文章的介绍可知，金融时间序列分析的核心是找到资产收益率之间的相关性，并利用它。以 2012 年 1 月 1 日到 2019 年 7 月 31 日上证指数日频对数收益率为例，假设使用 ARMA(3, 2) 对其建模，并考察其残差。下图展示了残差时序以及它的 ACF 和 Partial ACF(PACF)。
从 ACF 和 PACF 上不难看出，在很多 lags 上，自相关系数是超过 95% 的置信区间的；而从最上面一副图中也能明显看出收益率序列的一大特征 —— 波动率聚类。如果把残差取平方，并再次作图，上述波动率聚类则会变得更加直观。它在数学上被称为条件异方差(conditional heteroskedasticity)。
上述结果意味着，仅使用 ARMA 对收益率序列建模是不够的，它对条件异方差无能为力。为了解决这个问题需要对波动率建模，即使用 Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity(GARCH)模型。
不介绍 GARCH 的时间序列分析系列大抵是不完整的；此外也有小伙伴留言说能不能写写 GARCH。所以今天就来补作业了，也因此给这篇文章起了个“补完篇”的名字。
考虑到本系列前四篇参考了 quantstart.com 上相关文章的“优良传统”，我在本文第 3 小节介绍 GARCH 的数学模型时也会再次借鉴(参考文献中有链接)。最后，再给 quantstart.com 打个 call(必须给足它 credits)，它上面的所有文章都非常值得一读。
下文以资产收益率序列作为研究对象，介绍相关概念：第 2 节解释模型的结构；第 3 节介绍 ARCH 和 GARCH 的数学背景知识；第 4 节说明如何使用 ARMA 和 GARCH 对收益率的条件均值和条件方差进行联合建模；第 5 节针对上证指数做简单实证；第 6 节总结全文。
2 模型的结构
首先来看看“条件异方差”一词。
波动率聚类说明不同阶段收益率的方差是不同的，这就是异方差性(heteroskedastic)。而很多时候，资产收益率表现出高波动伴随着高波动时期(大牛市或者股灾的时候)，而低波动又往往伴随着低波动，因此波动率之间是存在序列相关性的，这就是“条件”一词的来源。将二者结合就有了条件异方差。
使用 GARCH 建模，是为了在 r_t 的线性自相关性之上考虑其方差之间的相关性，即把均值模型和波动率模型放在一个整体框架中考虑(Tsay 2010)。假设 t – 1 时刻所有已知的信息为 F_{t-1}，则当给定 F_{t-1} 时，t 时刻收益率的条件均值和条件方差可写为：
对于条件均值 μ_t，它可以是一个常数，也可以使用我们已经掌握的 ARMA 模型对其建模。一旦有了 μ_t 的模型，r_t 可以写作：
上式中 ε_t 是 t 时刻的扰动或者新息。结合上式和条件方差的定义可知，t 时刻收益率 r_t 的条件方差由 ε_t 的方差决定：
从模型结构不难看出，为了考虑条件异方差则需要对 ε_t 建模，而这正是 GARCH 的目标。
3 ARCH 和 GARCH
在介绍 GARCH 之前不妨先来看看 ARCH，毕竟 GARCH 只是在它前面加了一个 G(generalized)从而将其推广了。ARCH 由 Engle (1982) 提出，它是第一个对波动率建模的系统性框架。
对于 ε_t，考虑如下模型(其中 ω_t 表示均值为 0、方差为 1 的白噪声)：
把 σ_t 的表达式带回到 ε_t 中可得：
这个关于序列 {ε_t} 的模型称作一阶自回归条件异方差模型，也就是最简单的 ARCH(1) 过程 —— 括号里的系数 1 表明自回归模型中只考虑了 lag = 1 阶。为了直观看出方差序列之间的关系，将上式两边平方：
上式清晰的显示了 var(ε_t) 和 var(ε_{t-1}) 之间的关系。前面我们提到，{ε_t} 的模型是一个 ARCH(1) 过程。从 var(ε_t) 和 var(ε_{t-1}) 的关系可知，一个 ARCH(1) 过程的方差 —— 即 var(ε_t) —— 正是一个 AR(1)，即一阶自回归过程。
接下来我们照猫画虎，将 ARCH(1) 简单推广到多阶 lags，就得到 ARCH(p) 过程：
类似的，我们可以说一个 ARCH(p) 过程的方差是一个 AR(p)，即 p 阶自回归过程；这相当于对方差使用 AR(p) 来建模。既然能对方差用 AR(p) 来建模，那么很自然的一个问题就是，为什么不把 MA(q) 也加上得到方差的 ARMA(p, q) 模型呢？如此便引出了 GARCH(p, q)。
对于 ε_t，考虑如下模型：
这就是大名鼎鼎的 GARCH(p, q) 模型 —— (p, q) 阶的广义自回归条件异方差模型。有了 GARCH 我们就可以用它对收益率建模了。
4 使用 ARMA + GARCH 对收益率建模
本小节来看看如何在第二节介绍的体系下使用 ARMA(p, q) 和 GARCH(p', q') 来对 r_t 进行联合建模。为了区分条件均值模型和条件方差模型中的自回归阶数，我特意用了 (p, q) 和 (p', q') 表示。
将前面的内容整合到一起得到关于 r_t 的模型如下：
当我们对 r_t 建模时，需要同时指定 mean model(对 μ_t 建模)以及 volatility model(对 ε_t 建模)。上式使用了 ARMA(p, q) 作为 mean model，但根据实际问题也可以使用更简单的模型，比如 μ_t = 常数；使用了 GARCH(p', q') 作为 volatility model。最后使用已有的数据对这两个模型的参数进行联合估计。
在实际应用中，无论使用 python 还是 R 的相关 package，在调用时都要指定 mean model 和 volatility model。举个例子，在 quantstart.com 上一篇使用 ARMA 对 mean 建模、用 GARCH 对 volatility 建模来交易 S&P500 指数的例子中，作者对两个模型同时进行了设定。
在具体 GARCH 建模时可以遵如下步骤(Tsay 2010)：
- 使用 ARMA 对 r_t 建模以消除任何线性依赖，确定最优参数 p 和 q(可以利用 AIC/BIC 来确定)；
- 对上述模型的残差进行 GARCH 分析；
- 如果残差中表现出显著的条件异方差，则给定一个波动模型 GARCH(p', q')；
- 使用历史数据对第一步中的 ARMA(p, q) 和第三步中的 GARCH(p', q') 进行联合参数估计；
- 仔细检验第四步中拟合出的模型，如有必要则对其进行修改。
以上五步构成了对条件均值和条件方差的联合建模，使用得到的模型就可以对未来的 r_t 以及 var(r_t) 进行预测。
在离开本节之前，我们再来介绍两个使用 GARCH 建模时不十分正确的做法(希望能帮你排雷)。
错误做法一：用 ARMA(p, q) 的阶数作为 GARCH(p', q') 的阶数
网上一些资料中提过这样的做法：首先是用 ARMA 对 r_t 建模、确定最优的参数 p 和 q；然后将它们作为波动率模型的阶数，即 GARCH(p, q)，同时在联合建模时仅假设 mean model = constant。这种做法使用从 r_t 线性关系找到的 p 和 q 去对 r_t 的波动率的关系建模，然后又假设 mean model 是常数，着实令人费解。
错误做法二：将 mean model 和 volatility model 拆开估计
这种做法听上去更“靠谱”一些。首先是用 ARMA 对 r_t 建模，确定最优参数 p 和 q；然后使用 ARMA 模型的残差为被解释变量，对其进行 GARCH(p', q') 建模；第二步中因为被解释变量是残差，因此 GARCH 模型的 mean model = 0，即假设残差均值为零。
这种做法看似合理，但是从条件均值角度来说，它也仅仅是利用了 ARMA 这一步(第二步的 GARCH 建模由于假设 mean model = 0 因此对条件均值不再有影响)，而没有利用 ARMA + GARCH 的联合估计考察异方差对收益率序列的影响。通常来说，就 ARMA 的参数而言，仅使用 ARMA 和联合使用 ARMA + GARCH 的结果是有差异的。
举个例子：使用 AR(2) 和 AR(2) + GARCH(1, 1) 两种方法对收益率建模。
插播一句：有小伙伴可能会问，为什么用 AR 不用 ARMA。这是因为 python 中的 arch package 目前所支持的 mean model 中不包括 ARMA 模型，但包括 AR 模型。R 在这方面支持的更强大一些。
OK，回到例子。下表展示了两种方法建模时，AR(2) 的参数，可以看出它们之间的差异。
所以，GARCH 模型虽好，但是 use with care。我们应时刻搞清楚是在对什么建模、怎么建模，mean model 是什么、volatility model 又是什么。
5 简单实证
最后通过一个 toy example 来介绍 ARMA + GARCH 的应用。
以下对上证指数自 2012 年 1 月到 2019 年 7 月的日频对数收益率进行时间序列建模，并使用该模型预测下一个交易的收益率。如果预测为正则选择持有上证指数，反之则空仓；假设以收盘价成交且不考虑任何交易成本。
在构建策略时，采用长度为 T 的滚动窗口历史数据。首先是用 AR 对收益率建模(因为 python arch package 不支持 ARMA 作为 mean model，所以仅使用 AR(p) 模型)，并根据 AIC 选择最优 p 值(p 取值范围为 0 到 5)；然后以该 AR(p) 作为 mean model，并使用 GARCH(1, 1) 模型为 volatility model，进行联合参数估计。使用最终的模型预测下一个交易日收益率。此外作为比较，我们也考虑仅采用 AR(p) 来对收益率建模，而不考虑条件异方差的影响。
首先来看 T = 60 个交易日的情况。下图展示了 AR 和 AR + GARCH 两种策略的净值和回撤曲线。就表现而言，它们均战胜了上证指数本身(benchmark)。但是在股灾之后(波动率变大了)，这两种模型的表现发生了分化，就这个简单实证而言，AR 的效果比 AR + GARCH 更好。
再来看看把滚动窗口长度换到 T = 252 的情况。结果和上面接近，依然是 AR 战胜了 AR + GARCH 的组合。
从本小节的例子来看，加入了 GARCH 的策略似乎并没有仅使用 AR 的策略优异。我在最后的结语部分对此做简单评价。
6 结语
作为“补完篇”，本文填了《写给你的时间序列分析》最后一个大坑 —— GARCH；写作的重点在于阐述使用 mean model 和 volatility model 对收益率序列联合建模，以及在一个整合的框架下对两种模型的参数进行联合估计。
本文的第 5 节给出了一个简单实证。因 python arch package 的功能所限，实证中的 mean model 仅采用了 AR 模型。感兴趣的小伙伴不妨尝试 R 的相关 packages。
从实证结果来看，加入 GARCH 似乎没什么效果。但不要忘了，我们并没有对 GARCH 的参数进行任何优化，也没有额外利用其对波动率的建模来添加更加复杂的规则 —— 比如 volatility scaling。因此，仅仅基于这个简单的例子难以对 GARCH 的贡献做出任何正确的评判。
对于量化投资的研究来说，构建出策略并看到回测出来的净值曲线无疑是最令人激动的。然而，真正研究工作的核心却在于搞懂每个模型的原理以及它的作用，而这个过程注定是枯燥的。Quantstart Team 在其时间序列分析系列文章(以及其他系列)中不厌其烦的介绍每个基础模型，从简单到复杂，像搭积木一样为读者构建知识体系，令人敬佩。
现在，我们有了时间序列分析的各个 building blocks。但是，能够用它们做什么、如何去更科学的对收益率分析、预测，还需有经验的积累。最后，我想以下面这段出自 Quantstart 的话作为本系列的结束，也希望与各位共勉。
True quantitative trading research is careful, measured and takes significant time to get right. There is no quick fix or "get rich scheme" in quant trading.
参考文献
- Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, Vol. 50(4), 987 – 1008.
- Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series (3rd ed). Wiley.
- https://www.quantstart.com/articles/Generalised-Autoregressive-Conditional-Heteroskedasticity-GARCH-p-q-Models-for-Time-Series-Analysis
