没读过扫盲文《微分音音乐理论术语翻译与简介》的请先去读那一篇。理由的话，读和没读，君试试就知道区别了。
这一篇就是要讲那一篇没讲的、比较难的、有一堆数学式子的、搞音乐的也没必要知道的部分。那有小朋友可能要问了，笔者为什么会知道呢？那是因为笔者不仅仅是个搞音乐的嘛。
知道这个的用处就是有助于寻找自己心仪的调音、开发新调音，以及在调音中寻求美学体验。目录
1. 滕尼—欧氏调音与其变体
1.1. 滕尼—欧氏调音
1.2. 纯八度滕尼—欧氏调音
1.3. 傅比尼调音
2. 滕尼—欧氏调律量度
2.1. 滕尼—欧氏复杂度
2.2. 滕尼—欧氏误差
2.3. 滕尼—欧氏简单坏度
2.4. 滕尼—欧氏对数修正坏度
1. 滕尼—欧氏调音与其变体
1.1. 滕尼—欧氏调音
滕尼—欧氏调音(下文中滕尼—欧氏都简称为TE)是规则调律的一种调音方法，能够最小化各质数频率比的加权误差的平方和。现在已知一个抽象调律，例如说已知映射表，或者已知调和了哪些音差，具体如何调呢？每个生程要多大才好呢？TE调音提供了一种优化调音的解决方案。
首先我们重新审视一下映射表。我们用
表示标准形式的映射表。
调律有一系列生程。之前已经说过，秩为
的调律就有
个生程。我们用
表示生程的行向量。
我们的调音目标是一系列质数频率比，它们的对数是调音空间中的一组基，称为纯律点(just intonation points，下文称JIP)，我们用
表示，即
其中
是一个常数。如果
，则
的单位为纯八度；如果
，则
的单位为音分。
TE调音要求每个质数频率比有相同的权重，为此要将JIP单位化。定义TE调音的加权矩阵
：
换句话说就是对序数为j的质数频率比
取
的权重。
令
为加权基中的映射，即
。令
为加权JIP，即
。如果
的单位是纯八度，那么在这种加权的情况下，
就是一个全1的向量。
当
时，关于生程
有超定方程组
意思是序数为
(
)的质数频率比
在该调律中要等于各序数为
(
)的生程
的
步之和。
TE调音定义了对这个超定方程组的一个最小二乘问题。
最小二乘问题可以用摩尔—彭罗斯广义逆矩阵的方法求解。用
表示矩阵
的广义逆，则
解出来的
就是TE生程(TE generators)，即TE调音所用的生程。
用TE生程
与加权映射表
或非加权映射表
相乘，分别得到对应的TE调音表(TE tuning map)
或
，即
表示各质数频率比的实际调音结果。
下面以七限魔术调律(magic temperament)为例说明求TE调音的过程。已知七限魔术调律的映射表为
JIP也是已知的。令单位为纯八度，写出
分别对
和
加权。由
，得到
由
，得到
上面写出加权的过程是为了展示原理，只求TE调音的话这个全1的向量显然可以直接用。
求出
的广义逆
求出TE生程
求出TE调音表
和
以上就得到了七限魔术调律的TE调音。它是以纯八度为单位的。我们可以化成音分：
这就说明要最小化七限魔术调律的误差，2个生程的大小分别是1201.082分和380.695分；4个质数频率比2/1、3/1、5/1、7/1分别调到了1201.082分、1903.476分、2782.860分、3367.259分。
1.2. 纯八度滕尼—欧氏调音
对TE调音进行等比例缩放，使得纯八度成为纯的，就是纯八度TE调音。
非常简单。TE调音表
里面的第一个元素
就是对2/1的调音结果。因此，求出TE生程和TE调音表之后分别除以
即可。用
、
和
分别表示纯八度TE调音的TE生程、加权TE调音表、非加权TE调音表，则
七限魔术调律的纯八度TE调音结果是
说明2个生程的大小分别是1200.000分和380.352分；4个质数频率比2/1、3/1、5/1、7/1分别调到了1200.000分、1901.760分、2782.352分、3364.224分。
纯八度TE调音比TE调音更容易实现，采用它可以使一些问题变的直观简单，但误差会变大。
1.3. 傅比尼调音
傅比尼调音跟TE调音一样，但是不加权，直接解
傅比尼调音由于没有将JIP单位化，结果偏重高的质数频率比。因此TE调音通常比傅比尼调音更合理，除非认为和声限越高的音程就该容忍越低的误差。但傅比尼调音有一个特点，就是它的结果都是有理数，可以作为调律的一种特征表示。
2. 滕尼—欧氏调律量度
滕尼—欧氏调律量度(下文称TE调律量度)是对抽象调律的一套量化方法和评价标准，包括三个量：TE复杂度、TE误差和TE简单坏度。其关系是：
2.1. 滕尼—欧氏复杂度
TE复杂度是表示调律复杂程度的量度。求TE复杂度的方法有两种，一是通过外映射，二是直接通过映射表。外映射本身的价值是作为调律的一种特征表示，同时外映射的范具有表征调律的复杂度的意义。
求外映射的方法可以简单到一句话：对于和声限序数
、秩
的调律，已知映射表
，则其外映射
的第
个元素
等于
的第
种
取
组合的列拼成的矩阵的行列式。
展开来说的话是这样。首先我们定义组合迭代函数
，就是Python官方
库的
函数做的事情——给出
以下正整数里面取
个元素的所有组合的集合序列。这个集合序列中共有
与
的组合数
个集合，且每个集合都有
个元素。设有
的矩阵
和
个元素的集合
；定义列切片函数
为取
的第
列拼成的矩阵。因为
有
个元素，所以这个矩阵为
的方阵，必然存在行列式。对于和声限序数为
、秩为
的调律，已知映射表
，记集合序列
，则其外映射
有
个元素，第
个元素
满足
其中
表示取矩阵的行列式。
但对于求TE复杂度，我们要用加权外映射
。做法就是先给映射表加权，即
最后对加权外映射
取二阶范，得到的就是一种TE复杂度——
复杂度。用
表示复杂度，则
通过外映射求复杂度实际上是比较麻烦的方法。用格拉姆矩阵的方法从映射表直接求复杂度要简单的多：
TE复杂度除了
复杂度以外还有两种。金·沃德·史密斯(Gene Ward Smith)提出了方均根复杂度；格拉汉姆·布里德(Graham Breed)提出了单位化方均根复杂度。这里分别称为布氏和史氏方均根复杂度。
要计算方均根复杂度，我们首先定义一种范，称为方均根范(RMS norm)。向量的方均根范就是它各元素的方均根。它跟二阶范有很密切的联系——它等于二阶范除以元素数的方根。
史氏方均根复杂度就是对外映射取方均根范：
或者从映射表直接求：
布氏方均根复杂度，从映射表直接求就会非常优雅，用外映射却会非常迷惑。它采用这种定义：
关于分母上的
，笔者理解为数外映射的元素的时候把正交基也都算上，这样正好有
个元素(但布里德本人否定这种理解)。
从映射表直接求：
这个式子里面
根本没出现。但实际上，矩阵每次进行相乘的时候都取平均，
的方阵的行列式就是原来的
。
总之TE复杂度存在着三种定义：一种
复杂度和两种方均根复杂度。它们的结果是不同的，但在相同秩、相同纯律子群的情况下，它们的比值都是常数，所以选择其中任意一种都可以比较出TE复杂度。
特殊地，对于平均律，两种方均根复杂度都等于TE调音时这个平均律对纯八度的等分数。例如，十二平均律的复杂度就接近12，十九平均律的复杂度就接近19。
笔者倾向于使用布里德的定义，因为这个对人类的认知最友好。
2.2. 滕尼—欧氏误差
TE误差是调律在TE调音的情况下各质数频率比到JIP的方根差或方均根差。这同样存在着三种定义：L2误差、布氏和史氏方均根差。对于相同秩、相同纯律子群的调律，任意一种都可以用。但上面TE复杂度用的是哪种定义，这里TE误差也得用同一套。
用TE调音表减去JIP再取二阶范就是L2误差，即方根差。用
表示TE误差，则
用TE调音表减去JIP再取方均根范就是布氏方均根差。
最后是用
表示的史氏方均根差。它是先定义TE简单坏度再用关系反推出来的。笔者当然不会尝试解释它的TE简单坏度是怎么定义的，这里只给出公式。
2.3. 滕尼—欧氏简单坏度
TE简单坏度是调律在TE调音的情况下的相对误差。无论何种定义，TE简单坏度都等于对应的TE复杂度和TE误差的乘积。
2.4. 滕尼—欧氏对数修正坏度
TE对数修正坏度不属于TE调律量度的组成部分。它是对TE简单坏度的一种修正，理由是有人认为TE简单坏度十分偏向复杂的调律。TE对数修正坏度的计算：
其中
为TE对数修正坏度，
为TE简单坏度，
为TE复杂度。
TE对数修正坏度的一个重要性质是无下界性。虽然高复杂度的调律的TE对数修正坏度会远远高于TE简单坏度，但给定任意正值，一定存在TE对数修正坏度低于这个值的调律。
当然，笔者并不认同TE简单坏度偏向复杂的调律，更不用说「十分偏向」，所以也不认同随意使用TE对数修正坏度来评价调律。
以上。
雏鸣札D卷第二篇
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