文章目录
- 一、什么是二分类与逻辑回归(Logistic Regression)?
- 二、逻辑回归基本思路
- 三、定义损失函数(Loss Function)
一、什么是二分类与逻辑回归(Logistic Regression)?
二分类
表示分类任务中有两个类别。比如有一个分类任务是预测一张图片中是否有猫,则结果只有有
(1)或没有
(0)两种类别。逻辑回归
就是为解决二分类问题,建立模型,输入数据,最终输出一个0到1的数,用来预测的真实值。比如可以规定当模型输出值大于等于0.5时,我们便预测输出类别为1(对应上述例子,即图片中有猫)。
二、逻辑回归基本思路
有时我们使用线性回归
预测连续的值。设 是预测值,则
= wTx + b
其中x为样本某一特征取值, wT及b为输入参数。
上式输出的值是可以小于0或者大于1的。但我们希望逻辑回归
输出一个0到1的数。可以借助函数来将输出映射到0到1:
= (wTx + b)
其中,
表示函数,其图像如下图所示:
二分类问题的最终结果 只可能取值0或1,我们通过某一模型计算得到 , 用于对 的值进行预测。 通过函数可以映射到0到1中的某个具体的值,这个值可以理解为模型预测真实结果 为1的概率。比如 = 0.8 就代表着在样本 的条件下,通过模型预测 真实值为0.8,但 只可能取值0或1,所以该模型认为
这样 就可以理解为在样本 条件下,
三、定义损失函数(Loss Function)
损失函数用来描述真实值与预测值之间的差距,损失函数越小,代表预测值越接近真实值。
逻辑回归中损失函数定义如下:
(, ) =
下文将给出解释过程。
上文中已说明
IF y = 1:
IF y = 0:
我们希望预测值 接近真实值 。
如果y = 1,让 接近, 即接近1,则根据上述第一个式子知接近1。
如果y = 0,让 接近, 即接近0,则根据上述第二个式子知接近1 - 0 = 1。
因此我们希望P(y|x)值越大越好,越大代表着预测值越接近真实值。
将上述两个式子合并:
通过取对数,简化式子,得:
因为对数是单调递增函数,且值越大说明预测精度越高,也就是说越大越好。但损失函数描述的是真实值与预测值的差距,损失函数越小代表着预测精度越高,因此令,损失函数最终便可以表示为:
(, ) =