LDA降维算法分为简单两类情况和多类通用情况
只有两类样本的简单情况：
输入：两类样本特征
目的：将两类样本的特征投影至同类距离小，异类距离大的低维空间上，使得数据量减少的同时不损失分类信息
步骤：
1，计算两类样本的均值u0和u1,协方差矩阵sigma0,sigma1
2，假设投影空间w，两类样本投影到w后，均值为w'*u0和w'*u1，协方差矩阵为w'*sigma0*w和w'*sigma1*w
3，根据使投影后样本的均值差大，协方差矩阵小的目的，引出最大化优化公式J = ||w'u0 - w'u1|| / (w'*sigma0*w + w'*sigma1*w) = w'*(u0 - u1)*(u0 - u1)'*w / w'*(sigma0 + sigma1)*w
4，定义类内散度矩阵Sw = sigma0 + sigma1
5，定义类间散度矩阵Sb = (u0 - u1) * （u0 - u1）'
6，根据类内散度矩阵和类间散度矩阵，简化优化公式J = w'*Sb*w / w'*Sw"w5，该式与广义瑞利熵具有相同形式
7，根据求解广义瑞利熵的方法，对Sw进行SVD分解，即Sw = U*sigma*V'，再得inv(Sw) = V*inv(sigma)*U'
8，由拉格朗日乘子法可得，w = inv(Sw)*(u0 - u1)
9，对数据x以w'*x进行投影即可完成降维
对多类样本的通用情况：
输入：N类样本特征
目的：将多类样本的特征投影至同类距离小，异类距离大的低维空间上，使得数据量减少的同时不损失分类信息
1，计算所有样本特征的均值u，与第i类的类内均值ui，样本数mi
2，与两类样本情况一样
3，定义全局散度矩阵St = Sb+Sw = Σ（xi - u） * （xi - u)'，Σ是对所有样本累加操作
4，定义Swi = Σ（x - ui） * (x - ui)'，Σ是对第i类的所有样本进行累加操作
5，定义类内散度矩阵Sw = ΣSwi，Σ是对所有类进行累加操作
6，由Sb = St - Sw得，Sb = Σmi * (ui - u) * (ui - u)'，Σ是对所有类进行累加操作
7，假设投影空间W，引出最大化的优化公式tr(W'*Sb*W) / tr(W'*Sw*W)
8，设想要降低到d'维，对inv(Sw) * Sb进行SVD分解，从大到小的前d'个特征值对应的特征变量组成的W即为投影空间W
9，将数据按照W'*x的方式投影，即可降维
Matlab代码：
function [deX, W, deDim] = LDA( X, Y)
%% 函数功能：LDA降维实现，只保留特征值大于1的维度
% 输入：样本X，标签Y
% 输出：降维后样本deX,降维后的维数deDim,降维后的子空间W
%% 初始化参数
t0 = tic;
uT = mean(X,2); %全局均值
nLab = unique(Y); % 具体标签值
numC = length(nLab'); % 类别个数
mC = zeros(1,numC); % 每类的样本个数
dim = size(X, 1);
sWi = zeros(dim, dim, numC); % 每类的协方差矩阵
uW = zeros(dim, numC); % 每类的均值
sW = zeros(dim, dim); % 类内协方差矩阵
sBi = zeros(dim,dim,numC); % 每类的类间矩阵
sB = zeros(dim, dim); % 类间协方差矩阵
fprintf(' finish LDA initialization \n');
fprintf(' time cost : %.3g seconds\n\n', toc(t0));
t0 = tic;
%% 求全局协方差矩阵和类内协方差矩阵
for nC = 1:numC
[index, ~] = find(Y == nLab(nC));
trainC = X(:,index);
uW(:,nC) = mean(trainC, 2);
mC(nC) = length(index);
trainC = trainC - repmat(uW(:,nC),1 ,mC(nC));
sWi(:,:,nC) = trainC * trainC';
sBi(:,:,nC) = mC(nC) * ((uW(:,nC) - uT) * (uW(:,nC) - uT)');
end
sW = sum(sWi, 3);
sB = sum(sBi, 3);
%% 正则化
lambda = 0.001;
sW = sW + lambda * eye(dim);
sB = sB + lambda * eye(dim);
%% 得到特征值大于1的降维空间
[W, S] = svd(sW \ sB);
latent = diag(S);
deDim = sum(latent>=1);
W = W(:,1:deDim);
fprintf(' finish build the subspace, dim of the subspace is %d \n', deDim);
fprintf(' time cost : %.3g seconds\n\n', toc(t0));
t0 = tic;
%% 将样本进行投影
deX = W' * X;
fprintf(' finish reflect in the subspace\n');
fprintf(' time cost : %.3g seconds\n\n', toc(t0));
end
