2.1 前向传播
前向传播（forward propagation或forward pass）指的是：按顺序（从输入层到输出层）计算和存储神经网络中每层的结果。假设输入样本是 x∈R(d)， 并且我们的隐藏层不包括偏置项。 这里的中间变量是：
其中W(1)∈R(h×d)是隐藏层的权重参数。 将中间变量z∈R(h)通过激活函数ϕ后， 我们得到长度为h的隐藏激活向量：
隐藏变量h也是一个中间变量。 假设输出层的参数只有权重W(2)∈R(q×h)，我们可以得到输出层变量，它是一个长度为q的向量：
假设损失函数为l，样本标签为y，我们可以计算单个数据样本的损失项，
根据L2正则化的定义，给定超参数λ，正则化项为 :
其中矩阵的Frobenius范数是将矩阵展平为向量后应用的L2范数。 最后，模型在给定数据样本上的正则化损失为:
根据上述描述得到下面的计算图（ 其中正方形表示变量，圆圈表示操作符）：
2.2 反向传播
反向传播（backward propagation或backpropagation）指的是计算神经网络参数梯度的方法。该方法根据微积分中的链式规则，按相反的顺序从输出层到输入层遍历网络。 该算法存储了计算某些参数梯度时所需的任何中间变量（偏导数）。
假设我们有函数Y=f(X)和Z=g(Y)， 其中输入和输出X,Y,Z是任意形状的张量。 利用链式法则，我们可以计算Z关于X的导数：（使用prod运算符在执行必要的操作，如换位和交换输入位置，后将其参数相乘）
如上图所示，反向传播的目的是计算梯度∂J/∂W(1)和
，应用链式法则，依次计算每个中间变量和参数的梯度。 计算的顺序与前向传播中执行的顺序相反，因为需要从计算图的结果开始，并朝着参数的方向努力。
第一步是计算目标函数J=L+s相对于损失项L和正则项s的梯度。
目标函数关于输出层变量o的梯度：
计算正则化项相对于两个参数的梯度：
计算最接近输出层的模型参数的梯度
：
关于隐藏层输出的梯度∂J/∂h∈Rh由下式给出：
由于激活函数ϕ是按元素计算的， 计算中间变量z的梯度∂J/∂z∈Rh 需要使用按元素乘法运算符，我们用⊙表示 ：
最后，我们可以得到最接近输入层的模型参数的梯度 ∂J/∂W(1)∈Rh×d。 根据链式法则，我们得到：
2.3 小结
在训练神经网络时，前向传播和反向传播相互依赖。 对于前向传播，我们沿着依赖的方向遍历计算图并计算其路径上的所有变量。 然后将这些用于反向传播，其中计算顺序与计算图的相反。
因此，在训练神经网络时，在初始化模型参数后， 我们交替使用前向传播和反向传播，利用反向传播给出的梯度来更新模型参数。 注意，反向传播重复利用前向传播中存储的中间值，以避免重复计算。
带来的影响之一是我们需要保留中间值，直到反向传播完成。 这也是训练比单纯的预测需要更多的内存（显存）的原因之一。 此外，这些中间值的大小与网络层的数量和批量的大小大致成正比。 因此，使用更大的批量来训练更深层次的网络更容易导致内存不足（out of memory）错误。
