第四章 多自由度系统的振动
n自由度系统，要用n个独立的广义坐标来描述，微分方程一般是n个相互耦合的二阶常微分方程组
同步运动：n自由度无阻尼系统有n个固有频率（可能会出现重值），按其中一个频率作自由振动时，系统的运动称为同步运动/主振动
主振型/模态：主振动时的振动形态
主坐标：微分方程是n个解耦的二阶常微分方程组
多自由度系统的阻尼常假定为比例阻尼或振型阻尼
振型叠加法：n自由度系统的振动用n个单自由度系统振动的叠加表示
1. 运动微分方程
3种方法可建立
1. 达朗伯原理
F=m*a
F为包括约束力的外力
F-ma=0
F+I=0，I=-ma
达朗伯将I称为惯性力
虚位移：分析力学中，虚位移是符合约束条件的无穷小位移。虚位移是空间位移，时间是固定的
虚功：分析力学中，物体上的外力在虚位移下做的功
静力学的虚功原理在动力学的版本就是达朗伯原理
F为不包括约束力的外力
I为惯性力
δr为符合系统约束的虚位移
2. 拉格朗日方程：可以由达朗伯原理推出；哈密顿原理推出；欧拉-拉格朗日方程推出
Q为非保守的广义力
L拉格朗日函数
q广义坐标
3. 影响系数法：根据物理意义，写出M、K、C
2. 保守力、有势力
保守力：力只是位置矢量的函数；力做功与路径无关，只与初末位置有关，力沿闭合路径做功之和为零
标量函数U为系统势能
保守力做功等于势能增量的负值
系统具有保守力，则一定有势能
系统有势能，则一定有保守力吗？不一定
有势力
有势力所作的虚功等于广义势变分的负值
保守力一定是有势力，但反之行不通
n个质点组成的质点系，受k个约束，自由度数s=3n-k
取s个广义坐标，q1，q2，...，qs
广义力Qj，主动力Fi，质点系所受的外力=主动力+约束力
主动力是保守力，广义力与势能的关系
主动力是有势力，广义力与广义势能的关系
参考：《有势力和保守力》王宝杏 李寿松
变分法在分析力学、有限元中有有应用
3. 最小作用量原理
光线移动的路径是需时最少的路径（也可能是需时最大的，此时加个负号不就是最小了么）
在满足许可位移时，真实位移场使物体的势能取最小值。换句话说，结构产生的位移是总势能最小时的位移
4. 正定振动系统与半正定振动系统
取决于K为正定还是半正定
仅有弹性位移的系统，K为正定的，有弹性位移与刚体位移的系统，K为半正定的
5.坐标变换矩阵
x=D*y
x是原坐标
y是主坐标
D可以不是方阵，即原坐标与主坐标个数可以不同
如果D非奇异，那么A与
性质相同
6. 主振动
主振动也称同步运动
正定振动系统，结构在所有坐标上做除了振幅不同外，运动规律相同的运动 Φ*a*sin(wt+φ) 即结构在所有坐标同频同相移动
半正定振动系统，结构在所有坐标上做除了振幅不同外，运动规律相同的运动 Φ*a*sin(wt+φ) 或 Φ*(at+b)
将运动规律带入无阻尼微分方程，可得
特征方程的特征根为固有频率的平方
归一化：求解特征向量时，先规定一个元素的值，然后计算其他元素
广义特征值问题：
7.主振型
主振型有正交性
主质量：M左乘主振型再右乘主振型，主刚度同理
假设系统同时存在i，j阶主振动
T=Ti+Tj，Ti：系统仅存在第i阶振动时的动能
U=Ui+Uj
每阶主振动的动能与势能进行能量交换，各阶主振动之间不进行能量交换
注：本章到目前为止讨论的是无阻尼系统
8 .振型矩阵
振型矩阵：各阶振型组合成一个矩阵
主质量矩阵：M左乘主振型矩阵再右乘主振型矩阵，主刚度矩阵同理
谱矩阵：主质量矩阵的逆*主刚度矩阵
9.正则化矩阵
正则化：将主振型进行变换，使得由主振型得到的主质量为1
正则振型矩阵：所有正则振型组合成的矩阵
振型矩阵就是所要找的变换矩阵
振型矩阵、正则振型矩阵可以将原坐标系，分别变换为主坐标系与正则坐标系
10.特征值出现重根的情况
如n个特征值有r个重值，则特征方程的秩为n-r
即使有重根，n个自由度系统仍有n个相互正交的主振型
11.特征值为0的情况
特征值为0表示存在刚体位移
n自由度系统有r个零根，则将其缩减为n-r自由度，也就是对其施加r个约束，施加约束会使固有频率增大或不变
12.初始条件、激励进行变换
由于主坐标或正则坐标求解方程组比较容易（已经解耦），所以要在主坐标下或正则坐标系下计算，这是需要将初始条件、激励也变换到相应的坐标系下
13. 模态叠加法
无阻尼自由振动方程
同步运动：
Φ为常数列向量，同步运动时各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动
将X带入振动方程可推出
正定系统：只发生弹性变形，固有频率全大于0
得到一系列固有频率与其对应的振型
振型矩阵
：一系列振型
组成的矩阵
正则振型矩阵
：一系列正则振型
组成的矩阵振型求解时，一般设最后一个元素为1，然后求解其余元素
正则振型由振型与质量矩阵推导得到
固有频率有重根时，所有振型之间仍然是正交的
固有频率有零根时，需要缩减自由度
利用振型矩阵或正则振型将方程解耦
第一种方程是有初始条件的自由振动，第二种方程是有激励的强迫振动
将方程解耦后，求出主坐标下的响应，再利用振型矩阵乘主坐标下的响应，得到原坐标下的响应。正则坐标同理。这也叫做振型叠加法
14. 自激振动
固有振动：无激励时系统所有可能的运动的集合。固有振动不是现实的振动，它仅反映系统关于振动的固有属性
强迫振动：系统在外界激励下所作的振动
自激振动：无外界激励输入，系统自己产生激励
自激振动与受迫振动的区别：
前者产生振动的激励由系统运动产生，系统停止运动则无激励产生也就无振动了
后者激励与运动无关系
方程
可以将其看作负阻尼力。
若将合成后的阻尼力视为负的线性阻尼力，则可求解x如下：
x虽然会越来愈大，但系统停止运动，激励也就停止系统具有负阻尼，系统动不稳定，即振动不稳定
