等价负载均衡 等效负载

简 介： 在很多交流电应用场合采用整流负载，即交流电通过整流之后带动实际的直流负载。那么此时从整流桥输入端来看，负载的阻抗是多少呢？由于整流过程总是伴随着非线性过程，所以推导求解整流阻抗具有一定的复杂性。本文通过一定的条件简化，研究了全波整流对应的等效阻抗的变化。

关键词： 整流，阻抗，全波整流

 

▌01 整流负载阻抗

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  前几天，为了进行无线电能传输实验，对于整流电路对应的负载阻抗进行了实验研究。具体结果参见： 整流电路对应的阻抗是多少？ 。应用全桥电路对无线电能接收线圈输出的高频交流电进行整流，驱动后级的直流负载是大多数接受电路的结构，因此研究全桥整流负载电阻阻抗具有很大的理论和实际意义。

^{▲ 对应桥整流电路的负载阻抗}

  根据F. Pellitteri 等人在论文 Experimental test on a Contactless Power Transfer system 给出的公式（4）指出对于全桥负载电阻为$R_L$时，从桥电路输入端口来看对应的等效电阻为：$R_{L} = {8 \over {\pi ^2 }}R_1$

  在整流电路对应的阻抗是多少？通过对于负载R1=100Ω时，全桥整流电路等效电阻测量为：93Ω左右，这与：$R_L = {8 \over {\pi ^2 }} \times 100 = 81\,\,\Omega$

  计算出来的理论值相比，实测的电阻偏大。这部分的电阻有可能来自于整流桥电路本身的等效阻抗。那么，问题来了：上面的公式是如何推到出来的呢？

  下面尝试一下这个等效的阻抗公式的推导过程。

 

▌02 全桥整流负载阻抗

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1.推导方法

（1）计算原理

  求解全桥整流等效电阻采用在整流电路对应的阻抗是多少？测量相同的方式，假设一个带有内阻$R_0$的正弦高频信号源发送电压$U_1$。当连接到整流负载之后，测量输出电压$U_1$，那么整流负载等效电阻为：

$R_{eq} = {{U_2 } \over {U_1- U_2 }}R_0$

^{▲ 使用带有内阻信号源来测量负载阻抗}

$U_0 ,U_1$都使用信号的有效值。

$U_2的波形，可以看到由于存在滤波电容$C_1$，实测整流桥上的电压波形呈现被限钳位的电压波形。

^{▲ 整流桥中波形}

（2）条件简化

  为了方便理论推导，做如下的简化假设：

• 假设桥电路中的二极管是理想二极管：正向导通电阻、电压都为0；反向电阻为无穷大；
• 信号的周期$T_0$远远小于整流之后的负载$C_1 \cdot R_1$对应的时间周期；

  在上述简化假设条件下，桥电路上的电压波形为梯形正弦波。

^{▲ 桥电路施加电压波形}

$U_1 = \sin \left( t \right)$。假设在稳态时，整流滤波电容$C_1$上的电压为$E_1$。因此，等电压幅值超过$\pm E_1$时，就被电容上的电压钳位了。

$R_0 ,R_1$推导出对应的桥电路的等效电阻$R_{eq}$。

2.推导过程

$f\left( t \right) = \sin \left( t \right)$
  它对应的有效值为：$\sqrt 2 /2 = 0.707V$。

（1）求解E1

$E_1$的数值。根据前面的假设，根据电容上充电和放电相平衡的原理，确定$E_1$。

$t \in \left( {0,\pi } \right)$过程进行分析。信号源在$t \in \left( {t_1 ,\pi - t_1 } \right)$时间段，通过$R_0$对于滤波电容进行充电，充电电荷为：

$Q_c = \int_{t_1 {\kern 1pt} }^{\pi - t_1 } {{{\sin \left( t \right) - E_1 } \over {R_0 }}dt}$

$\left( {0,\pi } \right)$过程中，滤波电容通过$R_1$放电，释放电荷：$Q_d = {{E_1 } \over {R_1 }}\pi$

$Q_d = Q_c$，以及$E_1 = \sin \left( {t_1 } \right)$。可以得到关于$E_1$的方程：${1 \over {R_0 }}\int_{\arcsin \left( {E_1 } \right)}^{\pi - \arcsin \left( {E_1 } \right)} {\left[ {\sin \left( t \right) - E_1 } \right]dt} = {{E_1 } \over {R_1 }}\pi$

$\gamma = {{R_1 } \over {R_0 }}$

  那么方程变为：
$\int_{\arcsin \left( {E_1 } \right)}^{\pi - \arcsin \left( {E_1 } \right)} {\left[ {\sin \left( t \right) - E_1 } \right]dt} = {{E_1 \cdot \pi } \over \gamma }$

$E_1$的数值。

  相关的数值求解可以参照第三部分的：数值求解E1。

（2）求解正弦梯形波的有效值

$E_1 ,t_1$已知，$E_1 = \sin \left( {t_1 } \right)$。求对应的正弦梯形波$f_1 \left( t \right)$的有效值。根据对于周期波形，有效值的定义：

$E_1^2 = {1 \over {T_1 }}\int_0^{T_1 } {f_1^2 \left( t \right)dt}$

$\left( {0,\pi /2} \right)$即可。

^{▲ 求解有效过程}

$E_1 \in \left( {0,1} \right)$，对应的正弦梯形波的有效值为：

$U_1^2 \left( {E_1 } \right) = {1 \over \pi }\left[ {\arcsin \left( {E_1 } \right) - E_1 \cdot \left( {1 - E_1^2 } \right)^{{1 \over 2}} } \right] + {{2E_1^2 } \over \pi }\left[ {{\pi \over 2} - \arcsin \left( {E_1 } \right)} \right]$

  下面给出了不同的E1下对应的波形的有效值。

^{▲ 对于不同的E1对应波形的有效值}

3.归一化计算

  为了方便讨论，做以下归一化的假设：

• 信号源的波形为：$f\left( t \right) = \sin \left( t \right)$，因此，信号源的有效值：$U_1 = \sqrt 2 /2$
• 信号的电阻$R_0 = 1$欧姆，所以负载为$R_1$时，对应的$\gamma = R_1$。

$E_0$，可以得到等效的电阻为：

$R_{eq} = {{E_0 } \over {\sqrt 2 /2 - E_0 }}$

  到此为止，由于求取E1无法写出具体的解析公式，因此后面针对不同的R1,R0，通过数值求解来分析等效电阻与R1的关系。

 

▌03 数值求解

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1.求解E1

$\gamma = {{R_1 } \over {R_0 }}$，求解滤波电容上的电压$E_1 \in \left( {0,1} \right)$。

  根据2.2.1中推导出的E1的方程，方程的积分值为：

^{▲ 方程左边求解}

  这是一个随着E1单调低阶的函数，取值范围（0,2）。

$\gamma = R_1 /R_0$，便可以通过二分方法求解出对应的E1的数值解。

$\gamma = 1$时，对应的方程左右分别对应E1的曲线，它们之间的交点就是方程的唯一的解：E1的取值。

^{▲ 方程左右函数曲线}

  二分方法求取的E1的程序：

f1 = lambda x: 2*(1-x**2)**0.5 - x*(pi-2*arcsin(x))

def e1func(gama):
    leftv = 0
    rightv = 1

    for i in range(100):
        midv = (leftv+rightv)/2
        e1 = f1(midv)
        e2 = pi * midv / gama

        if e1 == e2:
            return midv
        elif e1 < e2:
            rightv = midv
        else: leftv = midv

    return (leftv+rightv)/2

$\gamma$取值（0,10）范围内，求取的E1的取值为：

^{▲ 不同的Gama对应的E1的取值}

2.归一化条件下计算等效电阻

$R_1$取值下，所得到的等效电阻$R_{eq}$。下面给出了R1从0 变化到10范围内，对应的等效电阻取值。

^{▲ 不同R1取值下对应的等效电阻}

  从上面曲线可以看出，在很大的范围之内，整流负载的阻抗与实际负载R1之间近似呈现为线性。

  由于存在着一定的非线性，所以整理负载阻抗与R1之间的比例与R1的取值有关系。下面给出了对应不同的R1，等效阻抗与R1比值的变化。

^{▲ 不同R1下对应的等效电阻与R1的比值}

  由此可见，在 整流电路对应的阻抗是多少？ 给出的${8 \over {\pi ^2 }} = 0.8106$

  应该只是对应某一个特定R1时对应的等效负载与R1的比值。

 

▌结论

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1.渐进关系

  通过理论分析，全桥整流电路加上滤波电容以及负载电阻情况下，求解对外的等效电阻。这个等效电阻与实际直流负载电阻R1之间的关系呈现了大体线性的关系。

  当负载电阻远远大于信号源的内阻，比如大于10倍以上，等效电阻与R1之间的线性比例大约在0.65左右。

  如果负载电阻相对于信号源的内阻比较接近，此时等效电阻与R1之间存在着比较明显的非线性关系。

  当负载电阻区趋于无穷大，等效电阻与R1之间的比值趋于1:2。

^{▲ R1取值非常大时，等效电阻与R1之间的比值曲线}

2.当R1趋近于0

  有趣的是当R1趋近0， 等效电阻与R1的比值似乎趋近0.9的数值。具体计算的结果大约是0.900314。

$R_L = {8 \over {\pi ^2 }}R_1$，将比值$8/\pi ^2$开方：

$\sqrt {8/\pi ^2 } = {{2\sqrt 2 } \over \pi } = 0.900316$

^{▲ 当R1趋近于0时，对应的等效电阻与R1的比值}

$8/\pi ^2$终于出现了。不过这个比值与本文推导过程之间关系细节是什么呢？

  好吧，就留下这个开放的问题吧。

^{▲ 100W 20Ω功率电阻}

 

※ 附录

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1.主要求解函数

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST2.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2021-02-10
#
# Note:
#============================================================

from headm import *

#------------------------------------------------------------
f1 = lambda x: 2*(1-x**2)**0.5 - x*(pi-2*arcsin(x))

def e1func(gama):
    leftv = 0
    rightv = 1

    for i in range(100):
        midv = (leftv+rightv)/2
        e1 = f1(midv)
        e2 = pi * midv / gama

        if e1 == e2:
            return midv
        elif e1 < e2:
            rightv = midv
        else: leftv = midv

    return (leftv+rightv)/2

#------------------------------------------------------------
def e0func(e):
    t1 = arcsin(e)
    v1 = (t1-e*(1-e**2)**0.5)/pi
    v2 = 2*e**2*(pi/2-t1)/pi

    return sqrt(v1+v2)

#------------------------------------------------------------
def reqfunc(e):
    return e/(sqrt(2)/2-e)

#------------------------------------------------------------
r1 = linspace(0.01, 10, 100)
e1 = [e1func(g) for g in r1]
e0 = [e0func(e) for e in e1]
req = [reqfunc(e) for e in e0]
ratio = [v1/v2 for v1,v2 in zip(req, r1)]

printf(req)

plt.plot(r1, ratio)
plt.xlabel("R1")
plt.ylabel("Ratio")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST2.PY
#============================================================

2.求解E1方程的动图

E1 = linspace(0, 1, 100)
e1left =[f1(v) for v in E1]

pltgif = PlotGIF()
plt.clf()
plt.draw()
plt.pause(.5)

for g in linspace(0.01, 10, 100):
    e1right = [pi/g * v for v in E1]

    x = e1func(g)
    y = f1(x)

    data = array([[x, y],[x, -0.05]])

    plt.clf()
    plt.plot(E1, e1left, label='EQ. Left')
    plt.plot(E1, e1right, label='EQ. Right')
    plt.xlabel("E1")
    plt.ylabel("EQ")
    plt.grid(True)
    plt.legend(loc="upper right")
    plt.axis([0, 1, -0.05, 2.1])
    plt.title("Gama:%5.2f"%g)

    plt.scatter(data[:,0], data[:,1], s=35, c='red')
    plt.plot(data[:,0], data[:,1], 'y--', linewidth=1)
    plt.text(x, y, '(%3.2f,%3.2f)'%(x,y))

    plt.tight_layout()
    plt.draw()
    plt.pause(.001)

    pltgif.append(plt)

pltgif.save(r'd:\temp\1.gif')
printf('\a')