- 弱形式推导的一般方法
- 写出问题的偏微分方程
- 乘以试函数并对方程进行积分
- 采用分部积分进行微分降级得到方程的弱形式
- 一维稳态导热微分方程的弱形式
1.问题描述
如图所示,一根长度为 L=1m的金属棒,左端有恒定热量 q =10W/m2流入,右端保持恒定温度 TL=300K, 有电流流过金属,恒定产热量为 Q=20W/m3,热导率 k=2W/(m.K)为常数,求金属棒上的温度分布。
2. 微分方程
傅里叶定律,也称热传导定律,描述热传导过程。其微分形式如下:
q=-k▽T
其中,q为局部热流密度,W/m2; k为材料热导率,W/(m.K)
一维情况下为:
将问题描述转化为数学语言,因存在内部热源 Q(W m^-3),故控制方程为:
一维形式为:
边界条件为:
3.方程求解
4. 方程的弱形式
4.1乘上试函数并积分(test function)
等式两边同时乘上试函数Φi ( x ),再进行一次积分,则:
4.2 分部积分降低微分阶数
上述方程可变形为:
利用分步积分法消去二阶导项:补充:∫ u d v = u v − ∫ v d u,那么上式变成
此即为弱形式表达式。可见在进行一次积分之后,消除了二阶项,但同时放宽了解要求,因此称之为weak form
5.在comsol中的表现形式
5.1 comsol 弱表达式方程
在comsol中弱形式方程的形式如下:
对比上式,积分方程中可以表达为
故方程在comsol中的弱表达式即为右边的积分项:
-k*test(Tx)*Tx+Q*test(T)
其中,test(Tx)为试函数的导数,test(T)为试函数;Tx为温度的导数
5.2 边界条件
该问题中有两个边界条件,边界方程如下
(1)在x=0处指定了热通量q,其方向向右为+,故在comsol中添加弱贡献项如下:
q*test(T)
(2)在x=L处指定了温度TL,所以在comsol中添加弱贡献项如下:
-u*test(T)-test(u)*(T-TL)
其中u为辅助因变量,以保证采用通量的形式使得L处的温度为TL。
求解的结果如图