埃尔米特插值python程序 埃尔米特插值的优缺点

分段插值/Hermite插值

• 1. 交互控制
• 2. 埃尔米特曲线段

• 2.1 埃尔米特混合函数
• 2.2 艾尔米特导数

曲线和曲面的方法一般都是基于点的----使用多项式，可以很容易的构造通过给定一维数组或二维点网格的参数曲线段(或曲面贴片)。

这些方法的缺点在于它们不是交互式的。如果生成的曲线或曲面不是设计师想要的，那么修改它的唯一方法就是添加点。移动这些点不是一个选项，因为曲线必须经过原始数据点。添加点可以控制曲线的形状，但会降低计算速度。

一个实用的、有用的曲线/曲面设计算法应该是交互式的。它应该提供用户控制的参数，以可预测的、直观的方式修改曲线的形状。Hermite 插值 就是这样一种方法。

埃尔米特插值基于两点 $P_1$ 和 $P_2$ 以及两个切向量 $P_1^t$ 和 $P_2^t$。它计算从 $P_1$ 开始朝向 $P_1^t$ 到 $P_2$ 结束朝向 $P_2^t$ 的曲线段。下图显示了几个不同的埃尔米特曲线段，以及它们的端点切向量：

很明显，一个单独的艾尔米特片段可以有许多不同的形状。它甚至可以有一个尖，可以发展成一个循环。然而，一个完整的曲线，通常需要有几个连续的线段，样条方法构造这样的曲线将在之后讨论。

1. 交互控制

艾尔米特插值具有重要的优势：它是互动的。如果艾尔米特曲线段有一个错误的形状，用户可以通过修改切向量来编辑它。

下图显示了如何通过修改矢量的振幅来编辑曲线。图中显示了三条曲线，开始在一个 $45\degree$ 的方向，最后垂直下降。这里展示的效果很简单，随着起始切线的大小增加，曲线在原方向上继续延长。这种行为意味着段切线产生了一个曲线，改变了它的方向，并开始向终点直线移动。这样的曲线接近于直线段，因此我们得出结论，长切线会产生松曲线，而短曲线会产生紧曲线。

切线的大小(而不仅仅是方向)影响曲线形状的原因是，三维的艾尔米特段是一个三维参量，计算一个三次幂需包含四个系数，每一个都是三个一组，总共有 12 个未知数。两个端点提供了 6 个已知量，两个切线提供了剩下的 6 个量。然而，如果我们只考虑向量的方向而不考虑它的大小，那么向量 $(1,0.5,0.3),(2,1,0.6),(4,2,1.2)$

2. 埃尔米特曲线段

艾尔米特曲线段很容易推导。它是一个有四个系数的三次幂曲线，其系数取决于两端点和两切线。三次曲线的基本方程为：
$P(t)=at^3+bt^2+ct+d=(t^3,t^2,t,1)(a,b,c,d)^T=T(t)A.$

这是这条曲线的代数表示，其中四个系数仍然未知。一旦这些系数用已知的几何量表示出来，曲线就会以几何形式表示出来。

曲线 $P(t)$ 的切向量为导数 $dP(t)/dt$，用 $P^t(t)$ 来表示。因此，该曲线的切向量为：
$P^t(t) = 3at^2+2bt+c$
我们用 $P$ 来表示两个给定点 $P_1$ 和 $P_2$ 以及两个给定的切线 $P^t_1$ 和 $P^t_2$。方程 $P(0)=P_1, P(1)=P_2, P^{t}(0)= P^t_1, P^{t}(1)= P^t_2$，其显式表示为：
$\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot 0^{3}+\mathbf{b} \cdot 0^{2}+\mathbf{c} \cdot 0+\mathbf{d} &=\mathbf{P}_{1} \\ \mathbf{a} \cdot 1^{3}+\mathbf{b} \cdot 1^{2}+\mathbf{c} \cdot 1+\mathbf{d} &=\mathbf{P}_{2} \\ 3 \mathbf{a} \cdot 0^{2}+2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{0}+\mathbf{c} &=\mathbf{P}_{1}^{t} \\ 3 \mathbf{a} \cdot 1^{2}+2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{1}+\mathbf{c} &=\mathbf{P}_{2}^{t} \end{aligned}$

很容易解得：
$\mathbf{a}=2 \mathbf{P}_{1}-2 \mathbf{P}_{2}+\mathbf{P}_{1}^{t}+\mathbf{P}_{2}^{t}, \quad \mathbf{b}=-3 \mathbf{P}_{1}+3 \mathbf{P}_{2}-2 \mathbf{P}_{1}^{t}-\mathbf{P}_{2}^{t}, \quad \mathbf{c}=\mathbf{P}_{1}^{t}, \quad \mathbf{d}=\mathbf{P}_{1}.$

将这些解带入方程，整理可得：
$\begin{aligned} \mathbf{P}(t)&=\left(2 \mathbf{P}_{1}-2 \mathbf{P}_{2}+\mathbf{P}_{1}^{t}+\mathbf{P}_{2}^{t}\right) t^{3}+\left(-3 \mathbf{P}_{1}+3 \mathbf{P}_{2}-2 \mathbf{P}_{1}^{t}-\mathbf{P}_{2}^{t}\right) t^{2}+\mathbf{P}_{1}^{t} t+\mathbf{P}_{1}\\ &=\left(2 t^{3}-3 t^{2}+1\right) \mathbf{P}_{1}+\left(-2 t^{3}+3 t^{2}\right) \mathbf{P}_{2}+\left(t^{3}-2 t^{2}+t\right) \mathbf{P}_{1}^{t}+\left(t^{3}-t^{2}\right) \mathbf{P}_{2}^{t} \\ &=F_{1}(t) \mathbf{P}_{1}+F_{2}(t) \mathbf{P}_{2}+F_{3}(t) \mathbf{P}_{1}^{t}+F_{4}(t) \mathbf{P}_{2}^{t} \\ &=\left(F_{1}(t), F_{2}(t), F_{3}(t), F_{4}(t)\right)\left(\mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \mathbf{P}_{1}^{t}, \mathbf{P}_{2}^{t}\right)^{T} \\ &=\mathbf{F}(t) \mathbf{B} \end{aligned}$

其中，
$\begin{array}{c} F_{1}(t)=\left(2 t^{3}-3 t^{2}+1\right), \quad F_{2}(t)=\left(-2 t^{3}+3 t^{2}\right)=1-F_{1}(t), \\ F_{3}(t)=\left(t^{3}-2 t^{2}+t\right), \quad F_{4}(t)=\left(t^{3}-t^{2}\right). \end{array}$

$B$ 为队列 $(P_1, P_2, P^t_1, P^t_2)^T$，$F(t)$ 为行 $(F_1(t), F_2(t), F_3(t), F_4(t))$。

函数 $F_i(t)$ 为 Hermite 混合函数。它们在曲线上创造了四个给定量的混合点，如上图所示。注意 $F_1(t)+F_2(t)=1$。$F_1(t)$ 和 $F_2(t)$ 两个函数混合点不是切向量，因此应该是重心函数。我们也可以写成 $F_1(t)=(t^3,t^2,t,1)(2,-3,0,1)^t$，$F_2(t),F_3(t),F_4(t)$

$\mathbf{F}(t)=\left(t^{3}, t^{2}, t, 1\right)\left(\begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 1 \\ -3 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\mathbf{T}(t) \mathbf{H}$

曲线现在可以写成：
$\mathbf{P}(t)=\mathbf{F}(t) \mathbf{B}=\mathbf{T}(t) \mathbf{H} \mathbf{B}=\left(t^{3}, t^{2}, t, 1\right)\left(\begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 1 \\ -3 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} \mathbf{P}_{1} \\ \mathbf{P}_{2} \\ \mathbf{P}_{1}^{t} \\ \mathbf{P}_{2}^{t} \end{array}\right)$

已知 $P(t)=at^3+bt^2+ct+d=(t^3,t^2,t,1)(a,b,c,d)^T = T(t)A$，也就是 $A=Hb$。矩阵 $H$ 称为 Hermite 基矩阵。

2.1 埃尔米特混合函数

继续分析上面示例中的四个混合函数，对这些函数的分析对于彻底理解艾尔米特插值方法是必不可少的。

函数 $F_1(t)$ 为分配给起始点 $P_1$ 的权重。它从最大值 $F_1(0)=1$ 到 $F_1(0)=0$。这说明了为什么当 $t$ 值很小时，曲线接近 $P_1$ 且说明了为什么对于较大的 $t$ 值，$P_1$ 造成的影响很小或者说几乎没有影响。相反的结论对 $F_2(t)$(末端点 $P_2$ 的权重) 也成立。函数 $F_3(t)$ 有点棘手。它从 0 开始，在 $t=1/3$

1. 对于小的 $t$ 值，函数 $F_3(t)$ 几乎没有影响。曲线一直靠近 $P_1$
2. 当 $t$ 值在 $1/3$ 左右时，权重 $F_3(t)$ 对曲线有一定影响。对于这些 $t$ 值，权重 $F_4(t)$ 很小，曲线近似为点 $F_1(t)P_1$(贡献大)，点 $F_2(t)P_2$(贡献小) 和向量 $F_3(t)P^t_1$ 的和。一个点 $P=(x,y)$ 和 一个向量 $v=(v_x,v_y)$ 的和是一个位于 $(x+v_x,y+v_y)$ 的点，这就是权重 $F_3(t)$ 如何沿着切向量方向 $P_1^t$
3. 对于较大的 $t$ 值，函数 $F_3(t)$ 再次几乎没有影响。曲线的移动更接近 $P_2$ 因为权重 $F_2(t)$

函数 $F_4(t)$ 可作类似解释。它对 $t$ 的大小几乎没有影响。它的最大值(实际上是最小值，因为它是负的)出现在 $t=2/3$ 处，所以它只影响这个区域的曲线。当 $t$ 的值接近 $2/3$，曲线近似为点 $F_2(t)P_2$(贡献大)，点 $F_1(t)P_1$(贡献小) 和向量 $-|F_4(t)|P^t_2$ 的和。因为 $F_4(t)$ 是负的，这个和等于 $(x-v_x,y-v_y)$，这就是曲线接近末端点 $P_2$ 时向方向 $P_2^t$

另一个埃尔米特权重函数的重要特征是，$F_1(t)$ 和 $F_2(t)$。它们一定是这样的，因为它们混合了两个点。从前面公式可知为什么是这样的：
$\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot 0^{3}+\mathbf{b} \cdot 0^{2}+\mathbf{c} \cdot 0+\mathbf{d} &=\mathbf{P}_{1} \\ \mathbf{a} \cdot 1^{3}+\mathbf{b} \cdot 1^{2}+\mathbf{c} \cdot 1+\mathbf{d} &=\mathbf{P}_{2} \\ 3 \mathbf{a} \cdot 0^{2}+2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{0}+\mathbf{c} &=\mathbf{P}_{1}^{t} \\ 3 \mathbf{a} \cdot 1^{2}+2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{1}+\mathbf{c} &=\mathbf{P}_{2}^{t} \end{aligned}$

第一个方程就是 $d=P_1$，将第二项减小为了 $a+b+c=P_2-P_1$。第三个方程求解 $c$，第四个方程和第二个方程结合，最终被用来计算 $a$ 和 $b$。所有这些说明 $a$ 和 $b$ 的形式是 $a=\alpha(P_2 - P_1)+\cdot \cdot \cdot, b=\beta(P_2-P_1)+ \cdot \cdot \cdot$。因此最终的曲线有形式：
$P(t)=at^3+bt^2+ct+d=(\alpha P_2-\alpha P_1+\cdot \cdot \cdot)t^3+(\beta P_2-\beta P_1+ \cdot \cdot \cdot)t^2+(\cdot \cdot \cdot)t + P_1$

其中省略号表示只依赖于切向量的部分，而不依赖于端点。当它重新排列时，结果为：
$P(t)=(-\alpha t^3-\beta t^2+1)P_1+(\alpha t^3+\beta t^2)P_2+(\cdot \cdot \cdot)P_1^t + (\cdot \cdot \cdot)P_2^t$
这就是为什么 $P_1$ 和 $P_1$

2.2 艾尔米特导数