一. 概念：张量、算子
张量（tensor）理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要应用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数。通俗来说，张量就是一个多重线性叠加数组。
算子是一个函数空间到函数空间上的映射O：X→X。广义上的算子可以推广到任何空间，如内积空间等。
二. 使用pytorch实现张量运算
1.2 张量
1.2.1 创建张量
1.2.1.1 指定数据创建张量
通过给定Python列表数据，可以创建任意维度的张量。
（1）通过指定的Python列表数据[2.0, 3.0, 4.0]，创建一个一维张量。
import torch
a = [2,3,4]
b = torch.Tensor(a)
print(b)输出
（2）通过指定的Python列表数据来创建类似矩阵（matrix）的二维张量。
import torch
X = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0],
[4.0, 5.0, 6.0]])
print(X)输出
（3）同样地，还可以创建维度为3、4...N等更复杂的多维张量。
import torch
X = torch.tensor([[[1, 2, 3, 4, 5],
[6, 7, 8, 9, 10]],
[[11, 12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19, 20]]])
print(X)输出
1.2.1.2 指定形状创建
如果要创建一个指定形状、元素数据相同的张量，可以使用torch.zeros、torch.ones、torch.full等。
import torch
m, n = 2, 3
zeros_tensor = torch.zeros([m, n])
ones_tensor = torch.ones([m, n])
full_tensor = torch.full([m, n], 10)
print('zeros Tensor:\n', zeros_tensor)
print('ones Tensor:\n', ones_tensor)
print('full Tensor:\n', full_tensor)输出
1.2.1.3 指定区间创建
如果要在指定区间内创建张量，可以使用torch.arange、torch.linspace等。
import torch
arange_tensor = torch.arange(start=1, end=5, step=1)
linspace_tensor = torch.linspace(start=1, end=5, steps=5)
print('arange Tensor:\n', arange_tensor)
print('linspace Tensor:\n', linspace_tensor)输出
1.2.2 张量的属性
1.2.2.1 张量的形状
张量具有如下形状属性：
-
Tensor.ndim：张量的维度，例如向量的维度为1，矩阵的维度为2。 -
Tensor.shape： 张量每个维度上元素的数量。 -
Tensor.shape[n]：张量第n维的大小。第n维也称为轴。 -
Tensor.numel()：张量中全部元素的个数。
import torch
X = torch.ones([2, 3, 4, 5])
print("Number of dimensions:", X.ndim)
print("Shape of Tensor:", X.shape)
print("Elements number along axis 0 of Tensor:", X.shape[0])
print("Elements number along the last axis of Tensor:", X.shape[-1])
print('Number of elements in Tensor: ', X.numel())输出
1.2.2.2 形状的改变
除了查看张量的形状外，重新设置张量的在实际编程中也具有重要意义。
import torch
X = torch.tensor([[[1, 2, 3, 4, 5],
[6, 7, 8, 9, 10]],
[[11, 12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19, 20]],
[[21, 22, 23, 24, 25],
[26, 27, 28, 29, 30]]])
print('the shape of X:', X.shape)
print('after reshape:\n', X.view([2, 5, 3]))输出
分别对上文定义的X进行reshape为[-1]操作和reshape为[1, 5, 6]两种操作，观察新张量的形状。
import torch
ndim_3_Tensor = torch.tensor([[[1, 2, 3, 4, 5],
[6, 7, 8, 9, 10]],
[[11, 12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19, 20]],
[[21, 22, 23, 24, 25],
[26, 27, 28, 29, 30]]])
new_Tensor1 = ndim_3_Tensor.reshape([-1])
print('new Tensor 1 shape: ', new_Tensor1.shape)
new_Tensor2 = ndim_3_Tensor.reshape([1, 5, 6])
print('new Tensor 2 shape: ', new_Tensor2.shape)输出
从输出结果看，第一行代码中的第一个reshape操作将张量reshape为元素数量为30的一维向量；第四行代码中的第二个reshape操作中，0对应的维度的元素个数与原张量在该维度上的元素个数相同。
除使用torch.reshape进行张量形状的改变外，还可以通过torch.unsqueeze将张量中的一个或多个维度中插入尺寸为1的维度。
import torch
ones_Tensor = torch.ones([5, 10])
new_Tensor1 = torch.unsqueeze(ones_Tensor, dim=0)
print('new Tensor 1 shape: ', new_Tensor1.shape)
new_Tensor2 = torch.unsqueeze(ones_Tensor, dim=1)
print('new Tensor 2 shape: ', new_Tensor2.shape)输出
1.2.2.3 张量的数据类型
pytorch中可以通过Tensor.dtype来查看数据类型。
Tensor的最基本数据类型有：
- 32位浮点型：torch.float32 (最常用）
- 64位浮点型：torch.float64 (最常用）
- 32位整型：torch.int32
- 16位整型：torch.int16
- 64位整型：torch.int64
1）通过Python元素创建的张量，如果未指定：
- 对于Python整型数据，则会创建int64型张量。
- 对于Python浮点型数据，默认会创建float32型张量。
2）通过Numpy数组创建的张量，则与其原来的数据类型保持相同。通过torch.tensor（）函数可以将Numpy数组转化为张量。
import torch
print('Tensor dtype from python integers:', torch.tensor(1).dtype)
print('Tensor dtype from python floating point:', torch.tensor(1.0).dtype)输出
如果想改变张量的数据类型，可以通过调用Tensor.type来实现。
import torch
float32_tensor = torch.tensor(1.0)
int64_tensor = float32_tensor.type(torch.int64)
print('Tensor after cast to int64:', int64_tensor.dtype)输出
1.2.2.4 张量的设备位置
初始化张量时可以通过place来指定其分配的设备位置，可支持的设备位置有三种：CPU、GPU和固定内存。固定内存也称为不可分页内存或锁页内存，它与GPU之间具有更高的读写效率，并且支持异步传输，这对网络整体性能会有进一步提升，但它的缺点是分配空间过多时可能会降低主机系统的性能，因为它减少了用于存储虚拟内存数据的可分页内存。
如下代码分别创建了CPU、GPU和固定内存上的张量，并通过Tensor.device查看张量所在的设备位置。
import torch
# 创建CPU上的Tensor
cpu_Tensor = torch.tensor(1, device=torch.device('cpu'))
# 通过Tensor.place查看张量所在设备位置
print('cpu Tensor: ', cpu_Tensor.device)输出
1.2.3 张量与Numpy数组转换
张量和Numpy数组可以相互转换。第1.2.2.3节中我们了解到torch.tensor()函数可以将Numpy数组转化为张量，也可以通过Tensor.numpy()函数将张量转化为Numpy数组。
import torch
ndim_1_Tensor = torch.tensor([1., 2.])
# 将当前Tensor转化为numpy.ndarray
print('Tensor to convert:', ndim_1_Tensor.numpy())输出
1.2.4 张量的访问
1.2.4.1 索引和切片
我们可以通过索引或切片方便地访问或修改张量。pytorch使用标准的Python索引规则与Numpy索引规则，具有以下特点：
- 基于0−n的下标进行索引，如果下标为负数，则从尾部开始计算。
- 通过冒号“:”分隔切片参数start:stop:step来进行切片操作，也就是访问start到stop范围内的部分元素并生成一个新的序列。其中start为切片的起始位置，stop为切片的截止位置，step是切片的步长，这三个参数均可缺省。
1.2.4.2 访问张量
针对一维张量，对单个轴进行索引和切片。
import torch
ndim_1_Tensor = torch.tensor([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])
print("Origin Tensor:", ndim_1_Tensor)
print("First element:", ndim_1_Tensor[0])
print("Last element:", ndim_1_Tensor[-1])
print("All element:", ndim_1_Tensor[:])
print("Before 3:", ndim_1_Tensor[:3])
print("Interval of 3:", ndim_1_Tensor[::3])输出
针对二维及以上维度的张量，在多个维度上进行索引或切片。索引或切片的第一个值对应第0维，第二个值对应第1维，以此类推，如果某个维度上未指定索引，则默认为“:”。
import torch
ndim_2_Tensor = torch.tensor([[0, 1, 2, 3],
[4, 5, 6, 7],
[8, 9, 10, 11]])
print("Origin Tensor:\n", ndim_2_Tensor)
print("First row:", ndim_2_Tensor[0])
print("First row:", ndim_2_Tensor[0, :])
print("First column:", ndim_2_Tensor[:, 0])
print("Last column:", ndim_2_Tensor[:, -1])
print("All element:\n", ndim_2_Tensor[:])
print("First row and second column:", ndim_2_Tensor[0, 1])输出
1.2.4.3 修改张量
与访问张量类似，可以在单个或多个轴上通过索引或切片操作来修改张量。
提醒
慎重通过索引或切片操作来修改张量，此操作仅会原地修改该张量的数值，且原值不会被保存。如果被修改的张量参与梯度计算，将仅会使用修改后的数值，这可能会给梯度计算引入风险。
import torch
ndim_2_Tensor = torch.ones([2, 3], dtype=torch.float32)
print('Origin Tensor:\n ', ndim_2_Tensor)
# 修改第1维为0
ndim_2_Tensor[0] = 0
print('change Tensor:\n ', ndim_2_Tensor)
# 修改第1维为2.1
ndim_2_Tensor[0:1] = 2.1
print('change Tensor: \n', ndim_2_Tensor)
# 修改全部Tensor
ndim_2_Tensor[...] = 3
print('change Tensor:\n ', ndim_2_Tensor)输出
1.2.5 张量的运算
张量支持包括基础数学运算、逻辑运算、矩阵运算等100余种运算操作，以加法为例，有如下两种实现方式：
1）使用pytorch torch.add(x,y)。
2）使用张量类成员函数x.add(y)。
import torch
x = torch.tensor([[1.1, 2.2], [3.3, 4.4]], dtype=torch.float64)
y = torch.tensor([[5.5, 6.6], [7.7, 8.8]], dtype=torch.float64)
print('Method 1:\n', torch.add(x, y))
print('Method 2:\n', x.add(y))输出
从输出结果看，使用张量类成员函数x.add(y)和torch.add(x,y)具有相同的效果。
1.2.5.1 数学运算
张量类的基础数学函数如下：
x.abs() # 逐元素取绝对值
x.ceil() # 逐元素向上取整
x.floor() # 逐元素向下取整
x.round() # 逐元素四舍五入
x.exp() # 逐元素计算自然常数为底的指数
x.log() # 逐元素计算x的自然对数
x.reciprocal() # 逐元素求倒数
x.square() # 逐元素计算平方
x.sqrt() # 逐元素计算平方根
x.sin() # 逐元素计算正弦
x.cos() # 逐元素计算余弦
x.add(y) # 逐元素加
x.subtract(y) # 逐元素减
x.multiply(y) # 逐元素乘（积）
x.divide(y) # 逐元素除
x.mod(y) # 逐元素除并取余
x.pow(y) # 逐元素幂
x.max() # 指定维度上元素最大值，默认为全部维度
x.min() # 指定维度上元素最小值，默认为全部维度
x.prod() # 指定维度上元素累乘，默认为全部维度
x.sum() # 指定维度上元素的和，默认为全部维度同时，为了更方便地使用张量，pytorch对Python数学运算相关的魔法函数进行了重写，以下操作与上述结果相同。
x + y -> x.add(y) # 逐元素加
x - y -> x.subtract(y) # 逐元素减
x * y -> x.multiply(y) # 逐元素乘（积）
x / y -> x.divide(y) # 逐元素除
x % y -> x.mod(y) # 逐元素除并取余
x ** y -> x.pow(y) # 逐元素幂1.2.5.2 逻辑运算
张量类的逻辑运算函数如下：
x.isfinite() # 判断Tensor中元素是否是有限的数字，即不包括inf与nan
x.equal_all(y) # 判断两个Tensor的全部元素是否相等，并返回形状为[1]的布尔类Tensor
x.equal(y) # 判断两个Tensor的每个元素是否相等，并返回形状相同的布尔类Tensor
x.not_equal(y) # 判断两个Tensor的每个元素是否不相等
x.less_than(y) # 判断Tensor x的元素是否小于Tensor y的对应元素
x.less_equal(y) # 判断Tensor x的元素是否小于或等于Tensor y的对应元素
x.greater_than(y) # 判断Tensor x的元素是否大于Tensor y的对应元素
x.greater_equal(y) # 判断Tensor x的元素是否大于或等于Tensor y的对应元素
x.allclose(y) # 判断两个Tensor的全部元素是否接近同样地，pytorch对Python逻辑比较相关的魔法函数也进行了重写，这里不再赘述。
1.2.5.3 矩阵运算
张量类还包含了矩阵运算相关的函数，如矩阵的转置、范数计算和乘法等。
x.t() # 矩阵转置
x.transpose([1, 0]) # 交换第 0 维与第 1 维的顺序
x.norm('fro') # 矩阵的弗罗贝尼乌斯范数
x.dist(y, p=2) # 矩阵（x-y）的2范数
x.matmul(y) # 矩阵乘法有些矩阵运算中也支持大于两维的张量，比如matmul函数，对最后两个维度进行矩阵乘。比如x是形状为[j,k,n,m]的张量，另一个y是[j,k,m,p]的张量，则x.matmul(y)输出的张量形状为[j,k,n,p]。
1.2.5.4 广播机制
pytorch的一些API在计算时支持广播(Broadcasting)机制，允许在一些运算时使用不同形状的张量。通常来讲，如果有一个形状较小和一个形状较大的张量，会希望多次使用较小的张量来对较大的张量执行某些操作，看起来像是形状较小的张量首先被扩展到和较大的张量形状一致，然后再做运算。
广播机制的条件
pytorch的广播机制主要遵循如下规则（参考Numpy广播机制）：
1）每个张量至少为一维张量。
2）从后往前比较张量的形状，当前维度的大小要么相等，要么其中一个等于1，要么其中一个不存在。
import torch
x = torch.ones((2, 3, 4))
y = torch.ones((2, 3, 4))
z = x + y
print('broadcasting with two same shape tensor: ', z.shape)
x = torch.ones((2, 3, 1, 5))
y = torch.ones((3, 4, 1))
# 从后往前依次比较：
# 第一次：y的维度大小是1
# 第二次：x的维度大小是1
# 第三次：x和y的维度大小相等，都为3
# 第四次：y的维度不存在
# 所以x和y是可以广播的
z = x + y
print('broadcasting with two different shape tensor:', z.shape)输出
从输出结果看，x与y在上述两种情况中均遵循广播规则，因此在张量相加时可以广播。我们再定义两个shape分别为[2, 3, 4]和[2, 3, 6]的张量，观察这两个张量是否能够通过广播操作相加。
import torch
x = torch.ones((2, 3, 4))
y = torch.ones((2, 3, 6))
z = x + y
输出
从输出结果看，此时x和y是不能广播的，因为在第一次从后往前的比较中，4和6不相等，不符合广播规则。
广播机制的计算规则
现在我们知道在什么情况下两个张量是可以广播的。两个张量进行广播后的结果张量的形状计算规则如下：
1）如果两个张量shape的长度不一致，那么需要在较小长度的shape前添加1，直到两个张量的形状长度相等。
2） 保证两个张量形状相等之后，每个维度上的结果维度就是当前维度上较大的那个。
以张量x和y进行广播为例，x的shape为[2, 3, 1，5]，张量y的shape为[3，4，1]。首先张量y的形状长度较小，因此要将该张量形状补齐为[1, 3, 4, 1]，再对两个张量的每一维进行比较。从第一维看，x在一维上的大小为2，y为1，因此，结果张量在第一维的大小为2。以此类推，对每一维进行比较，得到结果张量的形状为[2, 3, 4, 5]。
由于矩阵乘法函数torch.matmul在深度学习中使用非常多，这里需要特别说明一下它的广播规则：
1）如果两个张量均为一维，则获得点积结果。
2） 如果两个张量都是二维的，则获得矩阵与矩阵的乘积。
3） 如果张量x是一维，y是二维，则将x的shape转换为[1, D]，与y进行矩阵相乘后再删除前置尺寸。
4） 如果张量x是二维，y是一维，则获得矩阵与向量的乘积。
5） 如果两个张量都是N维张量（N > 2），则根据广播规则广播非矩阵维度（除最后两个维度外其余维度）。比如：如果输入x是形状为[j,1,n,m]的张量，另一个y是[k,m,p]的张量，则输出张量的形状为[j,k,n,p]。
import torch
x = torch.ones([10, 1, 5, 2])
y = torch.ones([3, 2, 5])
z = torch.matmul(x, y)
print('After matmul:', z.shape)输出
从输出结果看，计算张量乘积时会使用到广播机制。
三. 使用pytorch实现数据预处理
1.（1）读取数据集 boston_house_prices.csv
import torch
import pandas as pd
data = pd.read_csv('boston_house_prices.csv')
print(data)输出
（2）无缺失值
（3）转换为张量格式
import torch
import pandas as pd
data = pd.read_csv('boston_house_prices.csv')
x = torch.tensor(data.values)
print(x)输出
2.（1）读取数据集 Iris.csv
import pandas as pd
data = pd.read_csv('Iris.csv')
print(data)输出
（2）无缺失值
（3）转换为张量格式
import torch
import pandas as pd
data = pd.read_csv('Iris.csv')
inputs, outputs = data.iloc[:, 0:5], data.iloc[:, 5]
outputs = pd.get_dummies(outputs, dummy_na=True)
x, y = torch.tensor(inputs.values), torch.tensor(outputs.values)
print(x)
print('\n')
print(y)输出
四、实验感想
通过本次实验对张量和算子有了更加清晰的认识，并且对张量的属性和转变的性质更加熟悉，明白了张量的基本运算和张量对深度学习的意义。还有就是paddle和pytorch之间的相关变换，对深度学习相关函数更加清晰。
