§3.5 函数的极值及其求法
一、极值的定义
设函数
在区间
内有定义，点是
内的一点。若存在点的一个邻域，对于该邻域内任何异于的点，不等式
(
)成立，称
是函数
的一个极大值(极小值)；称点是函数
的极大值点(极小值点)。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值；
使函数取得极值的点统称为极值点。
关于函数的极值，如下几点注记是十分重要的。
1、函数的极值概念是一个局部概念。
如果
是函数
的一个极大值，那只是对的一个局部范围来说
是
的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说，
就不一定是最大值了。
对于极小值也是类似的。
2、极小值有可能较极大值更大。
如图：
(
是极大值， 而
是极小值 )
从图中可看出，在函数取得极值之处，曲线具有水平的切线。换句话说：函数在取得极值的点处，其导数值为零。
二、函数取得极值的几个重要定理
【定理一】(可导函数取得极值的必要条件)
设函数
在点处具有导数，且在处取得极值，则
。证明：不妨设
是极大值 (极小值的情形也可类似地证明)
据极大值定义， 在的某个邻域内， 对一切异于的点，
均有
成立。当
时，
，因此
；当
时，
，因此
，从而
。使导数为零的点(即方程
的实根)称为函数
的驻点。
定理一的结论可换成等价的说法：
可导函数的极值点必定是为驻点。
反过来，函数的驻点不一定就是函数的极值点,它最多只是可能的极值点。
【定理二】( 函数取得极值的第一充分条件 )
设函数
在点的某个邻域内可导，且
(1)、当取左侧的值时，
恒为正；当取右侧的值时，
恒为负，那么，
在处取得极大值；(2)、当取左侧的值时，
恒为负；当取右侧的值时，
恒为正，那么，
在处取得极小值；(3)、当取左右两侧的值时，
恒正或恒负，那么，
在处没有极值。
下面，我们给出第一充分条件的记忆方法：
一般 + 号往往表示得分，盈利等吉利的事情，蕴含有增加的意思，我们可解释 + 号表示走好运，走上坡路。
而 - 号又往往表示扣分、亏损等不吉利的事情，它含有减少的意思，我们可解释 - 号为走背运，走下坡路。
当在附近由左变到右时，符号由正变到负()，则曲线是先走上坡路，再走下坡路，呈 型，故是极大值；
当在附近由左变到右时，符号由负变到正()，则曲线是先走下坡路，再走上坡路，呈 型，故是极小值。
【例1】求函数
的极值。解：函数的定义域为
，且
，令
， 可得到函数的可能极值点(驻点)：
。当
时，
，当
时，
，故
是函数的极大值点，且函数的极大值为
。当
时，
，故
是函数的极小值点，且函数的极小值为
。
【定理三】(函数取得极值的第二充分条件)
设函数
在点处具有二阶导数， 且
、
， 则(1)、当
时， 函数
在处取得极大值；(2)、当
时， 函数
在处取得极小值。
下面对情形(1)给出证明， 情形(2)的证明完全类似。
由于
，有
据函数极限的性质， 当在的一个充分小的邻域内且
时，
而
，即
于是，对于这邻域内不同于的来说，
与
的符号相反，即：当
，
时，
，当
，
时，
，据定理二知：
在点处取极大值。
对极值判定的第二充分条件来说，如下注记是重要的。
1、对于二阶可导的函数
，它在驻点的二阶导数
的符号可判定函数值
为何种极值。如果
，则第二充分条件失效。请看下述反例：
这三个函数在原点处的一阶、二阶导数均为零，它们分别有极小值、极大值，无极值。
2、极值判定的第二充分条件的记忆方法
【例2】求函数
的极值。解：
，令
， 得驻点
，
， 函数有极小值
而
， 用第二充分条件无法进行判定， 考察函数的一阶导数在的左右两侧邻近值的符号。当取的左右侧邻近的值时，
；当取 1 的左右侧邻近的值时，
，故函数在
处没有极值。
三、函数在不可导点处的极值判定
前面的讨论中， 都假定了函数在所讨论的区间内是可导的这一条件。如果函数在某些点处的导数不存在， 函数在这些点处有可能取得极值吗?
换句话说，使函数不可导的点，是可疑的极值点吗?
【例4】讨论函数
的极值。
这两例所反映的事实说明：
函数的不可导点，也是函数可疑的极值点，在讨论函数的极值时，应予以考虑。
六、结论
求函数在定义区间上的极值，先找出函数在该区间上的可疑极值点(使函数的一阶导数为零或不存在的点)，再运用极值判定的第一或第二充分条件，对这些可疑极值点是否确实为极值点进行判定。
