数据结构篇（四）：
这次开始我们树的第二讲，让我们直接进入正题。
文章目录
- 数据结构篇（四）：
- （一）.二叉搜索树
- 二叉树的查找操作：
- 插入元素：
- 删除操作：
- （二）.平衡二叉树
- （三）平衡二叉树的调整
（一）.二叉搜索树
一般来说我们都用二叉树解决动态查找（经常发生插入和删除）的问题（取决于它的高效率）。
那么，为什么二叉搜索树的效率会这么好呢？
因为我们将查找的数据实现实现了有效的排序，这样我们就形成了一个判定树，它的查找效率是树的高度。放在树上的动态性比较强，插入删除比在线性里面做容易。
其中，二叉搜索树，一棵二叉树，可以为空，如果不为空，满足以下性质:
1.非空左子树的所有键值小于其根结点的键值。
2.非空右子树的所有键值大于其根结点的键值。
3.左、右子树都是二叉搜索树。
如图，让我们判断一下它是不是二叉搜索树。
因为，对10这个结点，5不满足右子树的键值大于根结点的键值。
二叉树的查找操作：
（1）.从根节点开始，如果树为空，返回NULL
（2）.若搜索树非空，则根结点关键字和X进行比较，并进行不同处理:
若X小于根结点键值，只需在左子树中继续搜索
如果X大于根结点的键值，在右子树中进行继续搜索
若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针
代码实现如下：
尾递归实现：
Position Find(ElementType X, BinTree BST)
{
if(!BST) return NULL; //如果树为空，返回空
if(X>BST->Data)
return Find(X,BST->Right); //右子树遍历查找
else(X<Bst->Data)
return Find(X,BST->Left); //左子树遍历查找
else
return BST; //查找失败
}循环实现：
Position IterFind(ElementType X,BinTree BST)
{
while(BST) // 如果树非空
{
if(X>BST->Data)
BST = BST->Right; //右子树遍历查找
else if(x<BST->Data)
BST = BST->Left; //左子树遍历查找
else
return BST;
}
return NULL;
}找到最小元素：
Position FindMin(BinTree BST)
{
if(!BST) return NULL;
else if(!BST->Left)
return BST;
else
return FindMin(BST->Left);
}找到最大元素：
Position FindMax(BinTree BST)
{
if(BST)
while(BST->Right)
BST = BST->Right;
return BST;
}插入元素：
BinTree Insert(ElementType X,BinTree BST)
{
if(!BST) //找到位置后创建结点
{
BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));
BST->Data = X;
BST->Left = BST->Right = NULL;
}else
if(X<BST->Data) //遍历查找位置
BST->Left = Insert(X,BST->Left);
else if(X>BST->Data)
BST->Right = Insert(X,BST->Right);
return BST;
}删除操作：
删除操作一般分三种。
（1）若删除节点为叶节点
直接删除，并再修改其父结点指针—置为NULL
如图，若我们想删除结点35：
找到结点后直接删除就好，如下图：
（2）删除结点带有一个子节点
如图，假设我们想删除33结点：
我们找到对应的结点，然后将其带的父节点41指向其子节点35，如图：
（3）删除结点有左、右两个子节点
我们一般采用另一结点替代被删除结点:右子树的最小元素或者左子树的最大元素，因为他们一定不是有两个子节点的节点。
代码实现：
BinTree Delete(ElementType X,BinTree BST)
{
Position Tmp;
if(!BST) printf("要删除的元素未找到")：
else if(X<BST->Data)
BST->Left = Delete(X,BST->Left); //左子树递归删除
else if(X>BST->Data)
BST->Right = Delete(X,BST->Right);//右子树递归删除
else //找到删除结点
if(BST->Left&&BST->Right) //如果被删除结点有两个子结点
{
Tmp = FindMin(BST->Right);
//找到右子树中最小的结点填补空缺结点
BST->Data = Tmp->Data;
BST->Right = Delete(BST->Data,BST->Right);//删除右子树最小的结点
}else //被删除结点只有一个结点或无孩子结点
{
Tmp = BST;
if(!BST->Left) //有右结点或无孩子结点
BST = BST->Right;
else if(!BST->Right);//有左结点或无孩子结点
BST->BST->Left;
free(Tmp); //将第三方变量空间释放
}
return BST;
}操作总结以后就是：
1.先找到需要删除的对应的结点
2.判断该需要删除的结点有几个子节点
3.如果被删除结点有两个孩子结点，则删除该结点之前，要有一个第三方变量Tmp来获取右子树最小值或左子树最大值，来填补这个缺失的结点，并且将获取到的结点删除。
4.如果被删除结点只有一个结点或无孩子结点，则判断结点的类型，再用其子树代替它删除后的位置。
（二）.平衡二叉树
首先，搜索树结点不同插入次序，将导致不同的深度和平均查找长度ASL。
结点插入次序不同时，查找所花费的平均查找次数也不同。
如下：
上述两幅图，就鲜明的跟我们体现出来了，不同次序导致树的长度不一样，但是，我们怎么知道平均的查找次数是不是一样呢？
其中，第一幅图中，树的平均查找长度ASL为： （1+2×2+3×3+4×3+5×2+6×1）/12 = 3.5
第一行每个结点比较一次，第二行每个结点比较两次，第三行每个结点比较三次，以此类推，就可以列出上式。
第二幅图中，树的平均查找长度ASL为：3.0（按上述方法计算）
可见，不同的次序，同样导致了查找次数的不同。
同时，相比第一第二张图的ASL，我们发现第二幅图的查找次数更少，效果更好，为什么呢？我们观察它的结构，发现它两边的子树分布的个数比较均匀，长度也相近，即比较平衡。这就引出了我们要讲的——平衡二叉树。
让我们先来了解下平衡因子（左右两个子树的高度差），通常如果不是空树的话，我们不希望它的值超过1。
上图这种结构，大家猜猜是不是平衡二叉树。
答案是不是，因为你看3结点左边子树的高度为2，而右边为0，所以左右两边的高度查>1，所以不是平衡二叉树。
下图是不是平衡二叉树呢？
答案为是，因为它每个结点两边的子树高度差都不大于一，所以它为平衡二叉树。
那下图是不是呢：
答案为不是，因为对7结点来说，左边的层数比右边多两层，所以它不是平衡二叉树。
平衡二叉树这么好用的话，那它的高度能达到log2n吗？
设nh高度为h的平衡二叉树的最少结点数。结点数最少时:
当高度h = 0时，
最少结点数为1；
当高度h = 1时，
我们有两种情况，一种是左右两边子树都有，一种是某边缺了一个结点。
所以最少的结点数为2；
当高度h = 2时，
如图，此时为结点个数最少的情况，当最左边的结点删除后，那么剩下的树就不是平衡二叉树，当右子树的左结点删除后，则h就不是2了。
所以此时最少结点数为4；
综上我们就可以得到这样的关系，
高度为h时的最少结点数 = 高度为h-1时最少结点数+高度为h-2时最少结点数+1。
（三）平衡二叉树的调整
如图：
此时，上述结构不构成平衡二叉树，所以我们需要将其转换一下：
此时，转换的方法叫右旋。
平衡被破坏的发现者是Mar，导致不平衡的结点为“麻烦结点”Nov，因结点是Nov在发现者（Mar）的右子树的右子树上，所以叫RR 插入，需要RR旋转（右单旋)。
让我们看看下面的例子：
如图
此时是一个平衡二叉树，我们现在加入一个结点：
可以发现，此时平衡二叉树的结点被破坏了，这时我们发现，破坏平衡的结点是N在发现者（A）的右子树的右子树上，所以我们进行RR旋转。
再举个LL旋转的例子：
如图，被破坏者为Mar，破坏者为Apr，所以我们破坏者在被破坏者左子树的左子树上，所以进行LL旋转
（注意，只需旋转被破坏者到破坏者那一段。）
具体操作如下：
再入对应的破坏者：
旋转：
因为它是搜索树，必须满足左边小右边大，所以BR位置如上图。
再举个LR例子：
如图
Jan插入后，树变得不平衡了，其中被破坏者为May，破坏者为Jan，此时破坏者在被破坏者的左子树的右子树上，所以进行LR旋转。
此时，为什么转换为这样呢？
因为Mar为三个结点的中心值，以他为根节点符合二叉树左小右大的规则。
操作如图：
插入破坏结点：
进行LR旋转：
必须满足左边小右边大，所以以C为根节点，B在左，A在右。
真正的希望必须是现实的延伸，是一步步往前走的路，是不断为美好的下一步作准备的实现。
