数理统计与数据分析第三版课后答案数理统计学讲义第三版

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mob64ca13ff5b03 2023-10-12 08:30:42

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本文是笔者准备统计类项目保研面试时的总结。旨在模拟面试一问一答的形式，梳理数理统计主要概念并深入理解概念，不涉及做题技巧。一些理解性的问题没有标准答案，我也不确定自己的理解一定准确。
希望本文能为保研面试/考研面试/数理统计在学/犹豫是否选统计专业/统计爱好者提供参考。

《数理统计》和《概率论》研究的问题的本质差异是什么？
总体是否已知
《数理统计》和现实中的抽样调查研究的问题的本质差异是什么？
样本是否是iid的；总体是否是infinite的
什么是统计量？
样本的可测函数
三大常用的抽样分布是什么？
卡方、T分布、F分布
T分布和标准正态分布有什么关联，并证明？
自由度趋向于无穷时，t分布收敛到标准正态。大数定律+slutsky定理可证
F分布是如何收敛到卡方分布的，并证明？。大数定律可证
F分布和T分布在何时能产生联系，是什么联系？
和的分位数有何关联？
分布族和卡方分布、指数分布的关联？
充分统计量是什么？如何理解它，它有什么用？
称统计量T为充分统计量，当且仅当：给定T下样本的条件分布与参数无关。
充分统计量包含了样本中含有的关于参数的全部信息。有“降维”的思想。
因子分解定理是什么？有什么用？
样本仅通过统计量T(x)与参数发生作用。“降维”
矩估计是什么？它是否唯一？矩估计有什么大样本性质？
用样本矩估计总体矩。不唯一。大数定律。
似然函数是什么？它和样本联合概率密度函数有什么区别和联系？
似然函数是将联合概率密度函数视为以参数为自变量的函数。
二者形式相同，自变量不同。
极大似然估计是否唯一？
不唯一
极大似然估计的不变原则是什么？
若是的MLE，且是一个一一映射。则是的MLE。
如何评价一个估计量的好坏？
无偏性、有效性、相合性、MSE
Fisher信息量是什么？如何理解它？
注意只有正则分布族才能谈Fisher信息量。
Fisher信息量可理解为总体所含的关于参数的信息。
UMVUE（一致最小方差无偏估计）的方差是否一定能达到C-R下界？
不一定。但若存在一个无偏估计T的方差达到了C-R下界，那么T必为UMVUE。
完备统计量是什么？它有什么用？
相合估计的定义？有哪几种相合估计？
如何理解相合估计和渐进无偏估计之间的异同？
区间估计比点估计好在哪？什么叫“一个好的区间估计”？
区间估计的置信水平如何解释？
注意区间是随机的，参数并非随机。因此置信水平应解释为：该随机区间有的概率包含参数的真值。
如何构造一个区间估计？
找枢轴量，或使用中心极限定理
假设检验的基本思想是什么？
小概率事件在单次试验中不发生
假设检验的步骤？
选择原假设和备择假设；
选择检验统计量T；
依照T在原假设下的分布和显著性水平确定拒绝域；
对于给定的样本，计算T的值并决定是否拒绝原假设
第一类错误和第二类错误分别是什么？能否同时最小化？
拒真、纳伪。不能同时最小化。
原假设和备择假设地位是否相等？
不相等。
一方面，由于我们控制了第一类错误，因此我们不会轻易的拒绝原假设。对原假设有保护作用。
另一方面，我们需要保证检验统计量的分布在原假设下是已知的。
检验函数如何定义的？什么时候是随机化检验，什么时候是非随机化检验？
势函数如何定义的？它和第一类错误、第二类错误分别有什么关联？
势函数
当参数属于原假设对应的参数空间内， =第一类错误概率。
当参数属于备择假设对应的参数空间内， = 1 - 第二类错误概率。
显著性水平是什么？它有什么用？
是第一类错误的上界。
因为我们无法同时最小化第一类错误和第二类错误，因此只能在限定第一类错误的上界的前提下，最小化第二类错误（这就得到了MPT）。
假设检验的接受域和区间估计有什么关系？
如何理解P值？它和显著性水平有什么关系？我们为什么要引入P值？
P值是能拒绝原假设的显著性水平的最小值。
P值度量样本对原假设的支持程度。
描述单正态总体、两正态总体均值和方差的显著性检验
描述似然比检验
NP引理告诉了我们什么事实？
大数定律在数理统计中的应用？
中心极限定理在数理统计中的应用？
卡方拟合优度检验是干什么的？
列联表检验是干什么的？