作者: 阮一峰
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基于用户投票的排名算法（一）：Delicious和Hacker News 基于用户投票的排名算法（二）：Reddit 基于用户投票的排名算法（三）：Stack Overflow 基于用户投票的排名算法（四）：牛顿冷却定律 基于用户投票的排名算法（五）：威尔逊区间 基于用户投票的排名算法（六）：贝叶斯平均
基于用户投票的排名算法（一）：Delicious和Hacker News
互联网的出现，意味着"信息大爆炸"。
用户担心的，不再是信息太少，而是信息太多。如何从大量信息之中，快速有效地找出最重要的内容，成了互联网的一大核心问题。
各种各样的排名算法，是目前过滤信息的主要手段之一。对信息进行排名，意味着将信息按照重要性依次排列，并且及时进行更新。排列的依据，可以基于信息本身的特征，也可以基于用户的投票，即让用户决定，什么样的信息可以排在第一位。
下面，我将整理和分析一些基于用户投票的排名算法，打算分成四个部分连载，今天是第一篇。
一、Delicious
最直觉、最简单的算法，莫过于按照单位时间内用户的投票数进行排名。得票最多的项目，自然就排在第一位。
旧版的 Delicious，有一个"热门书签排行榜"，就是这样统计出来的。
它按照"过去 60 分钟内被收藏的次数"进行排名。每过 60 分钟，就统计一次。
这个算法的优点是比较简单、容易部署、内容更新相当快；缺点是排名变化不够平滑，前一个小时还排在前列的内容，往往第二个小时就一落千丈。
二、Hacker News
Hacker News 是一个网络社区，可以张贴链接，或者讨论某个主题。
每个帖子前面有一个向上的三角形，如果你觉得这个内容很好，就点击一下，投上一票。根据得票数，系统自动统计出热门文章排行榜。但是，并非得票最多的文章排在第一位，还要考虑时间因素，新文章应该比旧文章更容易得到好的排名。
Hacker News 使用 Paul Graham 开发的 Arc 语言编写，源码可以从 arclanguage.org 下载。它的排名算法是这样实现的：
将上面的代码还原为数学公式：
其中，
P 表示帖子的得票数，减去 1 是为了忽略发帖人的投票。
T 表示距离发帖的时间（单位为小时），加上 2 是为了防止最新的帖子导致分母过小（之所以选择2，可能是因为从原始文章出现在其他网站，到转贴至 Hacker News，平均需要两个小时）。
G 表示"重力因子"（gravityth power），即将帖子排名往下拉的力量，默认值为1.8，后文会详细讨论这个值。
从这个公式来看，决定帖子排名有三个因素：
第一个因素是得票数P。
在其他条件不变的情况下，得票越多，排名越高。
从上图可以看到，有三个同时发表的帖子，得票分别为 200 票、60票和 30 票（减 1 后为 199、59和 29），分别以黄色、紫色和蓝色表示。在任一个时间点上，都是黄色曲线在最上方，蓝色曲线在最下方。
如果你不想让"高票帖子"与"低票帖子"的差距过大，可以在得票数上加一个小于 1 的指数，比如(P-1)^0.8。
第二个因素是距离发帖的时间T。
在其他条件不变的情况下，越是新发表的帖子，排名越高。或者说，一个帖子的排名，会随着时间不断下降。
从前一张图可以看到，经过 24 小时之后，所有帖子的得分基本上都小于1，这意味着它们都将跌到排行榜的末尾，保证了排名前列的都将是较新的内容。
第三个因素是重力因子G。
它的数值大小决定了排名随时间下降的速度。
从上图可以看到，三根曲线的其他参数都一样，G的值分别为1.5、1.8和2.0。G值越大，曲线越陡峭，排名下降得越快，意味着排行榜的更新速度越快。
知道了算法的构成，就可以调整参数的值，以适用你自己的应用程序。
[参考文献]
* How Hacker News ranking algorithm works
* How to Build a Popularity Algorithm You can be Proud of
基于用户投票的排名算法（二）：Reddit
Hacker News 排名算法的特点是用户只能投赞成票，但是很多网站还允许用户投反对票。就是说，除了好评以外，你还可以给某篇文章差评。
Reddit 是美国最大的网上社区，它的每个帖子前面都有向上和向下的箭头，分别表示"赞成"和"反对"。用户点击进行投票，Reddit 根据投票结果，计算出最新的"热点文章排行榜"。
怎样才能将赞成票和反对票结合起来，计算出一段时间内最受欢迎的文章呢？如果文章A有 100 张赞成票、5张反对票，文章B有 1000 张赞成票、950张反对票，谁应该排在前面呢？
Reddit 的程序是开源的，使用 Python 语言编写。排名算法的代码大致如下：
这段代码考虑了这样几个因素：
（1）帖子的新旧程度t
t = 发贴时间 - 2005 年 12 月 8 日7:46:43
t 的单位为秒，用 unix 时间戳计算。不难看出，一旦帖子发表，t就是固定值，不会随时间改变，而且帖子越新，t值越大。至于 2005 年 12 月 8 日，应该是 Reddit 成立的时间。
（2）赞成票与反对票的差x
x = 赞成票 - 反对票
（3）投票方向y
y 是一个符号变量，表示对文章的总体看法。如果赞成票居多，y就是 +1；如果反对票居多，y就是-1；如果赞成票和反对票相等，y就是0。
（4）帖子的受肯定程度z
z 表示赞成票超过反对票的数量。如果赞成票少于或等于反对票，那么z就等于1。
结合以上几个变量，Reddit 的最终得分计算公式如下：
这个公式可以分成两个部分来讨论：
（一）
这个部分表示，赞成票超过反对票的数量越多，得分越高。
需要注意的是，这里用的是以 10 为底的对数，意味着z=10可以得到 1 分，z=100可以得到 2 分。也就是说，前 10 个投票人与后 90 个投票人（乃至再后面 900 个投票人）的权重是一样的，即如果一个帖子特别受到欢迎，那么越到后面投赞成票，对得分越不会产生影响。
当反对票超过或等于赞成票，z=1，因此这个部分等于0，也就是不产生得分。
（二）
这个部分表示，t越大，得分越高，即新帖子的得分会高于老帖子。它起到自动将老帖子的排名往下拉的作用。
分母的 45000 秒，等于 12.5 个小时，也就是说，后一天的帖子会比前一天的帖子多得 2 分。结合前一部分，可以得到结论，如果前一天的帖子在第二天还想保持原先的排名，在这一天里面，它得到的净赞成票必须增加 100 倍。
y 的作用是用来产生正分和负分。当赞成票超过反对票时，得分为正；当赞成票少于反对票时，得分为负；当两者相等，得分为0。这就保证了得到大量净赞成票的文章，会排在前列；得到大量净反对票的文章，会排在最后。
（三）
这种算法的一个问题是，对于那些有争议的文章（赞成票和反对票非常接近），它们不可能排到前列。假定同一时间有两个帖子发表，文章A有 1 张赞成票（发帖人投的）、0张反对票，文章B有 1000 张赞成票、1000张反对票，那么A的排名会高于B，这显然不合理。
结论就是，Reddit 的排名，基本上由发帖时间决定，超级受欢迎的文章会排在最前面，一般性受欢迎的文章、有争议的文章都不会很靠前。这决定了 Reddit 是一个符合大众口味的社区，不是一个很激进、可以展示少数派想法的地方。
[参考资料]
* How Reddit ranking algorithms work
基于用户投票的排名算法（三）：Stack Overflow
Reddit 排名算法的特点是，用户可以投赞成票，也可以投反对票。也就是说，除了时间因素以外，只要考虑两个变量就够了。
但是，还有一些特定用途的网站，必须考虑更多的因素。世界排名第一的程序员问答社区 Stack Overflow，就是这样一个网站。
你在上面提出各种关于编程的问题，等待别人回答。访问者可以对你的问题进行投票（赞成票或反对票），表示这个问题是不是有价值。
一旦有人回答了你的问题，其他人也可以对这个回答投票（赞成票或反对票）。根据投票结果，系统自动找出最佳回答。
排名算法的作用是，找出某段时间内的热点问题，即哪些问题最被关注、得到了最多的讨论。
在 Stack Overflow 的页面上，每个问题前面有三个数字，分别表示问题的得分、回答的数目和该问题的浏览次数。以这些变量为基础，就可以设计算法了。
创始人之一的 Jeff Atwood，曾经在几年前，公布过排名得分的计算公式。
写成 php 代码，就是下面这样：
各个算法变量的含义如下：
（1）Qviews（问题的浏览次数）
某个问题的浏览次数越多，就代表越受关注，得分也就越高。这里使用了以 10 为底的对数，用意是当访问量越来越大，它对得分的影响将不断变小。
（2）Qscore（问题得分）和 Qanswers（回答的数量）
首先，Qscore（问题得分）= 赞成票-反对票。如果某个问题越受到好评，排名自然应该越靠前。
Qanswers 表示回答的数量，代表有多少人参与这个问题。这个值越大，得分将成倍放大。这里需要注意的是，如果无人回答，Qanswers 就等于0，这时 Qscore 再高也没用，意味着再好的问题，也必须有人回答，否则进不了热点问题排行榜。
（3）Ascores（回答得分）
一般来说，"回答"比"问题"更有意义。这一项的得分越高，就代表回答的质量越高。
但是我感觉，简单加总的设计还不够全面。这里有两个问题。首先，一个正确的回答胜过一百个无用的回答，但是，简单加总会导致，1个得分为 100 的回答与 100 个得分为 1 的回答，总得分相同。其次，由于得分会出现负值，因此那些特别差的回答，会拉低正确回答的得分。
（4）Qage（距离问题发表的时间）和 Qupdated（距离最后一个回答的时间）
改写一下，可以看得更清楚：
Qage 和 Qupdated 的单位都是秒。如果一个问题的存在时间越久，或者距离上一次回答的时间越久，Qage 和 Qupdated 的值就相应增大。
也就是说，随着时间流逝，这两个值都会越变越大，导致分母增大，因此总得分会越来越小。
（５）总结
Stack Overflow 热点问题的排名，与参与度（Qviews 和 Qanswers）和质量（Qscore 和 Ascores）成正比，与时间（Qage 和 Qupdated）成反比。
基于用户投票的排名算法（四）：牛顿冷却定律
这个系列的前三篇，介绍了 Hacker News，Reddit 和 Stack Overflow 的排名算法。
今天，讨论一个更一般的数学模型。
这个系列的每篇文章，都是可以分开读的。但是，为了保证所有人都在同一页上，我再说一下，到目前为止，我们用不同方法，企图解决的都是同一个问题：根据用户的投票，决定最近一段时间内的"热文排名"。
你可能会觉得，这是一个全新的课题，伴随着互联网而产生，需要全新的方法来解决。但是，实际上不是。我们可以把"热文排名"想象成一个"自然冷却"的过程：
（1）任一时刻，网站中所有的文章，都有一个"当前温度"，温度最高的文章就排在第一位。
（2）如果一个用户对某篇文章投了赞成票，该文章的温度就上升一度。
（3）随着时间流逝，所有文章的温度都逐渐"冷却"。
这样假设的意义，在于我们可以照搬物理学的冷却定律，使用现成的公式，建立"温度"与"时间"之间的函数关系，轻松构建一个"指数式衰减"（Exponential decay）的过程。
伟大的物理学家牛顿，早在 17 世纪就提出了温度冷却的数学公式，被后人称作"牛顿冷却定律"（Newton's Law of Cooling）。我们就用这个定律构建排名算法。
"牛顿冷却定律"非常简单，用一句话就可以概况：
物体的冷却速度，与其当前温度与室温之间的温差成正比。
写成数学公式就是：
其中，
- T (t)是温度（T）的时间（t）函数。微积分知识告诉我们，温度变化（冷却）的速率就是温度函数的导数T'(t)。
- H 代表室温，T(t)-H就是当前温度与室温之间的温差。由于当前温度高于室温，所以这是一个正值。
- 常数α（α>0）表示室温与降温速率之间的比例关系。前面的负号表示降温。不同的物质有不同的α值。
这是一个微分方程，为了计算当前温度，需要求出T(t)的函数表达式。
第一步，改写方程，然后等式两边取积分。
第二步，求出这个积分的解（c为常数项）。
第三步，假定在时刻t0，该物体的温度是T(t0)，简写为T0。代入上面的方程，得到
第四步，将上一步的C代入第二步的方程。
假定室温H为 0 度，即所有物体最终都会"冷寂"，方程就可以简化为
上面这个方程，就是我们想要的最终结果：
本期温度 = 上一期温度 x exp (-(冷却系数) x 间隔的小时数)
将这个公式用在"排名算法"，就相当于（假定本期没有增加净赞成票）
本期得分 = 上一期得分 x exp (-(冷却系数) x 间隔的小时数)
其中，"冷却系数"是一个你自己决定的值。如果假定一篇新文章的初始分数是 100 分，24小时之后"冷却"为 1 分，那么可以计算得到"冷却系数"约等于0.192。如果你想放慢"热文排名"的更新率，"冷却系数"就取一个较小的值，否则就取一个较大的值。
[参考文献]
Rank Hotness With Newton's Law of Cooling
基于用户投票的排名算法（五）：威尔逊区间
迄今为止，这个系列都在讨论，如何给出"某个时段"的排名，比如"过去 24 小时最热门的文章"。
但是，很多场合需要的是"所有时段"的排名，比如"最受用户好评的产品"。
这时，时间因素就不需要考虑了。这个系列的最后两篇，就研究不考虑时间因素的情况下，如何给出排名。
一种常见的错误算法是：
得分 = 赞成票 - 反对票
假定有两个项目，项目A是 60 张赞成票，40张反对票，项目B是 550 张赞成票，450张反对票。请问，谁应该排在前面？按照上面的公式，B会排在前面，因为它的得分（550 - 450 = 100）高于A（60 - 40 = 20）。但是实际上，B的好评率只有 55%（550 / 1000），而A为 60%（60 / 100），所以正确的结果应该是A排在前面。
Urban Dictionary 就是这种错误算法的实例。
另一种常见的错误算法是
得分 = 赞成票 / 总票数
如果"总票数"很大，这种算法其实是对的。问题出在如果"总票数"很少，这时就会出错。假定A有 2 张赞成票、0张反对票，B有 100 张赞成票、1张反对票。这种算法会使得A排在B前面。这显然错误。
Amazon 就是这种错误算法的实例。
那么，正确的算法是什么呢？
我们先做如下设定：
（1）每个用户的投票都是独立事件。
（2）用户只有两个选择，要么投赞成票，要么投反对票。
（3）如果投票总人数为n，其中赞成票为k，那么赞成票的比例p就等于k/n。
如果你熟悉统计学，可能已经看出来了，p服从一种统计分布，叫做"两项分布"（binomial distribution）。这很重要，下面马上要用到。
我们的思路是，p越大，就代表这个项目的好评比例越高，越应该排在前面。但是，p的可信性，取决于有多少人投票，如果样本太小，p就不可信。好在我们已经知道，p服从"两项分布"，因此我们可以计算出p的置信区间。所谓"置信区间"，就是说，以某个概率而言，p会落在的那个区间。比如，某个产品的好评率是 80%，但是这个值不一定可信。根据统计学，我们只能说，有 95% 的把握可以断定，好评率在 75% 到 85% 之间，即置信区间是[75%， 85%]。
这样一来，排名算法就比较清晰了：
第一步，计算每个项目的"好评率"（即赞成票的比例）。
第二步，计算每个"好评率"的置信区间（以 95% 的概率）。
第三步，根据置信区间的下限值，进行排名。这个值越大，排名就越高。
这样做的原理是，置信区间的宽窄与样本的数量有关。比如，A有 8 张赞成票，2张反对票；B有 80 张赞成票，20张反对票。这两个项目的赞成票比例都是 80%，但是B的置信区间（假定[75%， 85%]）会比A（假定[70%， 90%]）窄得多，因此B的置信区间的下限值（75%）会比A（70%）大，所以B应该排在A前面。
置信区间的实质，就是进行可信度的修正，弥补样本量过小的影响。如果样本多，就说明比较可信，不需要很大的修正，所以置信区间会比较窄，下限值会比较大；如果样本少，就说明不一定可信，必须进行较大的修正，所以置信区间会比较宽，下限值会比较小。
二项分布的置信区间有多种计算公式，最常见的是"正态区间"（Normal approximation interval），教科书里几乎都是这种方法。但是，它只适用于样本较多的情况（np > 5 且 n (1 − p) > 5），对于小样本，它的准确性很差。
1927年，美国数学家 Edwin Bidwell Wilson 提出了一个修正公式，被称为"威尔逊区间"，很好地解决了小样本的准确性问题。
在上面的公式中，
表示样本的"赞成票比例"，n表示样本的大小，
表示对应某个置信水平的z统计量，这是一个常数，可以通过查表或统计软件包得到。一般情况下，在 95% 的置信水平下，z统计量的值为1.96。
威尔逊置信区间的均值为
它的下限值为
可以看到，当n的值足够大时，这个下限值会趋向
。如果n非常小（投票人很少），这个下限值会大大小于
。实际上，起到了降低"赞成票比例"的作用，使得该项目的得分变小、排名下降。
Reddit 的评论排名，目前就使用这个算法。
[参考文献]
* How Not To Sort By Average Rating
基于用户投票的排名算法（六）：贝叶斯平均
上一篇介绍了"威尔逊区间"，它解决了投票人数过少、导致结果不可信的问题。
举例来说，如果只有 2 个人投票，"威尔逊区间"的下限值会将赞成票的比例大幅拉低。这样做固然保证了排名的可信性，但也带来了另一个问题：排行榜前列总是那些票数最多的项目，新项目或者冷门的项目，很难有出头机会，排名可能会长期靠后。
以 IMDB 为例，它是世界最大的电影数据库，观众可以对每部电影投票，最低为 1 分，最高为 10 分。
系统根据投票结果，计算出每部电影的平均得分。然后，再根据平均得分，排出最受欢迎的前 250 名的电影。
这里就有一个问题：热门电影与冷门电影的平均得分，是否真的可比？举例来说，一部好莱坞大片有 10000 个观众投票，一部小成本的文艺片只有 100 个观众投票。这两者的投票结果，怎么比较？如果使用"威尔逊区间"，后者的得分将被大幅拉低，这样处理是否公平，能不能反映它们真正的质量？
一个合理的思路是，如果要比较两部电影的好坏，至少应该请同样多的观众观看和评分。既然文艺片的观众人数偏少，那么应该设法为它增加一些观众。
在排名页面的底部，IMDB 给出了它的计算方法。
- WR， 加权得分（weighted rating）。
- R，该电影的用户投票的平均得分（Rating）。
- v，该电影的投票人数（votes）。
- m，排名前 250 名的电影的最低投票数（现在为 3000）。
- C， 所有电影的平均得分（现在为6.9）。
仔细研究这个公式，你会发现，IMDB 为每部电影增加了 3000 张选票，并且这些选票的评分都为6.9。这样做的原因是，假设所有电影都至少有 3000 张选票，那么就都具备了进入前 250 名的评选条件；然后假设这 3000 张选票的评分是所有电影的平均得分（即假设这部电影具有平均水准）；最后，用现有的观众投票进行修正，长期来看，v/(v+m)这部分的权重将越来越大，得分将慢慢接近真实情况。
这样做拉近了不同电影之间投票人数的差异，使得投票人数较少的电影也有可能排名前列。
把这个公式写成更一般的形式：
- C，投票人数扩展的规模，是一个自行设定的常数，与整个网站的总体用户人数有关，可以等于每个项目的平均投票数。
- n，该项目的现有投票人数。
- x，该项目的每张选票的值。
- m，总体平均分，即整个网站所有选票的算术平均值。
这种算法被称为"贝叶斯平均"（Bayesian average）。因为某种程度上，它借鉴了"贝叶斯推断"（Bayesian inference）的思想：既然不知道投票结果，那就先估计一个值，然后不断用新的信息修正，使得它越来越接近正确的值。
在这个公式中，m（总体平均分）是"先验概率"，每一次新的投票都是一个调整因子，使总体平均分不断向该项目的真实投票结果靠近。投票人数越多，该项目的"贝叶斯平均"就越接近算术平均，对排名的影响就越小。
因此，这种方法可以给一些投票人数较少的项目，以相对公平的排名。
"贝叶斯平均"也有缺点，主要问题是它假设用户的投票是正态分布。比如，电影A有 10 个观众评分，5个为五星，5个为一星；电影B也有 10 个观众评分，都给了三星。这两部电影的平均得分（无论是算术平均，还是贝叶斯平均）都是三星，但是电影A可能比电影B更值得看。
解决这个问题的思路是，假定每个用户的投票都是独立事件，每次投票只有n个选项可以选择，那么这就服从"多项分布"（Multinomial distribution），就可以结合贝叶斯定理，计算该分布的期望值。由于这涉及复杂的统计学知识，这里就不深入了，感兴趣的朋友可以继续阅读 William Morgan 的How to rank products based on user input。
