泰勒公式可以表示为：
\[f(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\delta})=f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{g}^{\rm T}\boldsymbol{\delta}+\frac{1}{2}\boldsymbol{\delta}^{\rm T}\boldsymbol{h}\boldsymbol{\delta}+O(\boldsymbol{\delta^3}) \tag{1} \]
在(2)中
\[\boldsymbol{x}=[x_1,...,x_n]^{\rm T} \\ \boldsymbol{\delta}=[\delta_1,...,\delta_n]^{\rm T}\\ \boldsymbol{g}=[\frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n}]^{\rm T}\\ \boldsymbol{h}= \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} \]
在上面的表达式中\(\boldsymbol{x}\)表示函数自变量，\(\boldsymbol{\delta}\)中每个元素分别对应自变量的扰动，\(\boldsymbol{g}\)表示梯度矩阵，\(\boldsymbol{h}\)表示海参矩阵，它是一个实对称矩阵。以下推导梯度下降法和牛顿下降法。
(1)梯度下降法
当每个自变量的扰动量足够小时，可以忽略二阶及二阶以上的泰勒展开项，此时(2)可以表示为：
\[f(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\delta}) \approx f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{g}^{\rm T}\boldsymbol{\delta} \tag{2} \]
我们希望每次运动后的函数值都小于运动前的函数值，即\(f(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\delta})< f(\boldsymbol{x})\)，所以显然此时需要满足\(\boldsymbol{g}^{\rm T}\boldsymbol{\delta}=||\boldsymbol{g}||||\boldsymbol{\delta}||{\rm cos}(<\boldsymbol{g},\boldsymbol{\delta}>)< 0\)，需要注意的函数在已知点处的梯度是确定的，也就是说在某点上\(\boldsymbol{g}\)是一个常向量，所以\(\boldsymbol{g}^{\rm T}\boldsymbol{\delta}\)中能改变的只有\(\boldsymbol{\delta}\)，显然，当\({\rm cos}(<\boldsymbol{g},\boldsymbol{\delta}>)< 0\)，即向量\(\boldsymbol{g}\)和\(\boldsymbol{\delta}\)之间的夹角为钝角时，该扰动量能够使函数值下降，且当\({\rm cos}(<\boldsymbol{g},\boldsymbol{\delta}>)=-1\)，即该扰动向量的方向和该点处的梯度向量反向时，函数值下降最快。梯度下降法就是在每个点上均朝着该点梯度反方向运动，经过不断迭代使函数值取得最小值的方法。
函数\(f(\boldsymbol{x})\)是一个超曲面(如图1所示)，令\(f(\boldsymbol{x})=C\)，其中\(C\)为常数，即用一个超平面去切\(f(\boldsymbol{x})\)对应的超曲面，则当\(C\)取不同值时，可以得到如图1所示的等值线图，函数\(f(\boldsymbol{x})\)上某一点的梯度方向与该点切线方向垂直，且指向等值线增大的方向，因此，梯度下降法的运动路线即如图1所示，始终沿着函数梯度反方向运动。
图1 梯度下降示意图
梯度下降法的具体操作步骤如下：
a) 设第\(k\)次迭代的对应的点为\((\boldsymbol{x}_k,f(\boldsymbol{x}_k))\)，计算该点的梯度向量\(\boldsymbol{g}_k\);
b) 根据梯度下降法可得迭代公式\(\boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{x}_k-\alpha \boldsymbol{g}_k\)，其中\(\alpha\)表示学习率；
c) 不断重复上面的迭代过程，直到满足一定的停止准则。
以一个例子进行说明，设函数\(f(\boldsymbol{x})=f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\)，显然(0,0)即为该函数的最小值点，梯度向量为\(\boldsymbol{g}=[2x_1,2x_2]^{\rm T}\)，设初始时刻\(\boldsymbol{x}_0=(1,3)\)，学习率\(\alpha=0.1\)，则迭代过程如下：
\[ \boldsymbol{x}_0=(1,3)\\ \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{x}_0-\alpha \boldsymbol{g}_0=(1,3)-0.1(2,6)=(0.8,2.4)\\ \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}_1-\alpha \boldsymbol{g}_1=(0.8,2.4)-0.1(1.6,4.8)=(0.64,1.92)\\ \boldsymbol{x}_3=(0.512,1.536)\\ \vdots\\ \boldsymbol{x}_{10} \approx (0.107374,0.322122)\\ \vdots\\ \boldsymbol{x}_{100} \approx (1.6296e^{-10},4.8888e^{-10})\\ \]
显然，经过多次迭代后，已逐渐靠近最优点。
(2)牛顿下降法
梯度下降法只利用到泰勒展开式的一次项，将泰勒展开至二次项可得到：
\[f(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\delta}) \approx f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{g}^{\rm T}\boldsymbol{\delta}+\frac{1}{2}\boldsymbol{\delta}^{\rm T}\boldsymbol{h}\boldsymbol{\delta} \tag{3} \]
可以看出，此时在很小的一个区域内函数\(f(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\delta})\)可以看成一个关于\(\boldsymbol{\delta}\)的二阶曲面，并可通过对\(\boldsymbol{\delta}\)求导得到该二阶曲面的最小值，将(3)对\(\boldsymbol{\delta}\)求导可得
\[\frac{\partial f(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\delta})}{\partial \boldsymbol{\delta}}=\boldsymbol{g}+\boldsymbol{h}\boldsymbol{\delta}=\boldsymbol{0} \rightarrow \boldsymbol{\delta}=-\boldsymbol{h}^{-1}\boldsymbol{g} \tag{4} \]
(4)中得到的\(\boldsymbol{\delta}\)即为牛顿下降法对应的运动向量。牛顿下降法属于二阶收敛，因此收敛速度很快，但是它每次迭代都要计算海森矩阵的逆矩阵，计算量比较大。此外，牛顿下降法还存在一些问题，以下进行分析：
从第(1)节中梯度下降法的分析我们知道，一个运动向量，如果满足\(\boldsymbol{g}^{\rm T}\boldsymbol{\delta}< 0\)，即该向量与梯度向量的夹角为钝角时，那么该运动方向就是有效的运动方向。所以对于(4)中\(\boldsymbol{\delta}\)，当\(\boldsymbol{g}^{\rm T}\boldsymbol{\delta}=-\boldsymbol{g}^{\rm T}(\boldsymbol{h}^{-1}\boldsymbol{g})< 0 \rightarrow \boldsymbol{g}^{\rm T}\boldsymbol{h}^{-1}\boldsymbol{g}>0\)时，才能保证牛顿下降法给出的方向是有效的方向，即必须要保证\(\boldsymbol{h}^{-1} \succ 0\)，由于\(\boldsymbol{h}\)为实对称矩阵，即\(\boldsymbol{h}=\boldsymbol{h}^{\rm T}\)，所以\(\boldsymbol{h}^{-1}=(\boldsymbol{h}^{\rm T})^{(-1)}=(\boldsymbol{h}^{-1})^{\rm T}\)，所以\(\boldsymbol{h}^{-1}\)也是实对称矩阵，所以它可以进行正交对角化且其特征值全为实数,\(\boldsymbol{h}^{-1}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{U}^{\rm T}\)，其中\(\boldsymbol{\Sigma}={\rm diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)\)，当\({\rm min}(\lambda_1,...,\lambda_n)>0\)时，矩阵\(\boldsymbol{h}^{-1}\)满足正定性要求，此时牛顿下降法给出的方向是有效的方向。
当海森矩阵的逆矩阵不满足正定性要求时，可对牛顿下降方向进行适当修正，具体做法如下：
设\({\rm min}(\lambda_1,...,\lambda_n)=\lambda_n< 0\)，则可以令\(\hat{\boldsymbol{h}}=\boldsymbol{h}^{-1}+\sigma\boldsymbol{I}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{U}^{\rm T}+\sigma\boldsymbol{U}\boldsymbol{I}\boldsymbol{U}^{\rm T}=\boldsymbol{U}(\boldsymbol{\Sigma}+\sigma\boldsymbol{I})\boldsymbol{U}^{\rm T}=\boldsymbol{U}\hat{\boldsymbol{\Sigma}}\boldsymbol{U}^{\rm T}\)，其中\(\sigma=|\lambda_n|+\epsilon\)，\(\epsilon\)表示很小的正数，\(\hat{\boldsymbol{\Sigma}}={\rm diag}(\lambda_1+\sigma,...,\lambda_n+\sigma)\)，则牛顿下降方向可以修正为\(\boldsymbol{\delta}=-\hat{\boldsymbol{h}}^{-1}\boldsymbol{g}\)。
牛顿下降法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法的收敛速度更快。形象一点说明就是，如果想找一条最短的路径到盆地的最底部，梯度下降法每次都朝当前位置处坡度最大的方向走，而牛顿法不仅会考虑当前坡度大不大，还会考虑下一步之后，坡度是否会变得更大，因此牛顿法比梯度下降法看得更远，能更快走到最底部。从几何的观点看，牛顿法是用一个二次曲面去拟合当前所在位置的局部曲面，而梯度下降法适用一个平面去拟合当前的局部曲面，通常情况下，二次曲面的拟合效果会比平面更好，因此牛顿法能够选择出更符合真实情况的最优下降路径。
