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算法来源

早期搜索引擎采用分类目录的方法，通过人工进行网页分类，并整理出高质量的网页。

后来，随着网页的增多，人工分类已经不现实，此时期搜索引擎采用文本检索的方法，即计算用户检索的关键词与网页内容的相关度，返回所有结果，但关键词并不能反映网页的质量，搜索效果不好。

斯坦福大学的两位研究生佩奇 (Larry Page)和布林 (Sergey Brin) 借鉴了学术论文排序的方法，即论文被引用次数，提出了评价网页质量的方法：

若一个网页被其他网页链接，说明该网页重要性较高；

被高质量网页链接的网页，其重要性相应提高；

算法原理

如下图所示A、B、C和D网页之间的链接图：


该有向图的概率转移矩阵，又称Markov矩阵，如下：

T=(01/2101/3001/21/3001/21/31/200)T = \left(

\begin{matrix}

0 & 1/2 & 1 & 0\\

1/3 & 0 & 0 & 1/2\\

1/3 & 0 & 0 & 1/2\\

1/3 & 1/2 & 0 & 0

\end{matrix}

\right)T=⎝⎜⎜⎛01/31/31/31/2001/2100001/21/20⎠⎟⎟⎞

其中T[i][j]T[i][j]T[i][j]表示第jjj个网页跳转至第iii个网页的概率，转移矩阵的列向量元素和为1。如A网页可跳转至B、C和D网页，跳转概率均为1/3。

初始各网页具有相同PR值，即

V0=(1/41/41/41/4)TV_0=(1/4\quad 1/4 \quad 1/4 \quad 1/4)^TV0=(1/41/41/41/4)T

持续nnn次转移后，得到网页的最终PR值，即

Vn=T⋅Vn−1=Tn⋅V0V_n = T\cdot V_{n-1} = T^n \cdot V_0Vn=T⋅Vn−1=Tn⋅V0

当n→+∞n\rightarrow +\inftyn→+∞，若概率转移矩阵TTT满足以下条件，则VnV_nVn最终收敛：

概率转移矩阵是随机矩阵，即T[i][j]≥0T[i][j] \geq 0T[i][j]≥0，且∑iT[i][j]=1\sum_{i}T[i][j]=1∑iT[i][j]=1；

概率转移矩阵是不可约的，即TTT对应强连通图，图中任何节点都可以到达其他节点，即TTT中不存在全0列(终止节点)，且转移矩阵对角线元素不为1(陷阱节点)。终止节点没有到达任何节点的链接，最终得到的PR向量为0向量；陷阱节点只有跳转至自身的链接，最终得到的PR向量中仅陷阱节点的PR值为1，其他节点的PR值为0；

概率转移矩阵是非周期的，即TTT为素矩阵，自身的某次幂为正矩阵；

因此，上述例子得到的最终PR向量为

lim⁡n→+∞Vn=lim⁡n→+∞Tn⋅V0=(3/92/92/92/9)T\lim_{n\rightarrow+\infty}V_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}T^n\cdot V_0=(3/9 \quad 2/9 \quad 2/9 \quad 2/9)^Tn→+∞limVn=n→+∞limTn⋅V0=(3/92/92/92/9)T

结果表明，经过n次跳转后，用户停留在A网页的概率为3/9，高于其他网页。

终止节点和陷阱节点

终止节点

终止节点是指，没有任何出链的节点，如下图中的C节点：


终止节点在概率转移矩阵中，对应列元素全为0，如下：

T=(01/2001/3001/21/3001/21/31/200)T = \left(

\begin{matrix}

0 & 1/2 & \color{red}\bm0 & 0\\

1/3 & 0 & \color{red}\bm0 & 1/2\\

1/3 & 0 & \color{red}\bm0 & 1/2\\

1/3 & 1/2 & \color{red}\bm0 & 0

\end{matrix}

\right)T=⎝⎜⎜⎛01/31/31/31/2001/2000001/21/20⎠⎟⎟⎞

其中，状态转移矩阵中第3列元素全为0，表明第3个节点没有跳转至任何节点的链接，该节点为终止节点。

容易验证，执行第n次转移后，PR向量的元素和不断减小，即

∑iVn[i]=∑iVn−1[i]−Vn−1[3]\sum_{i} V_n[i]=\sum_{i} V_{n-1}[i]-V_{n-1}[3]i∑Vn[i]=i∑Vn−1[i]−Vn−1[3]

最终得到的PR向量为

lim⁡n→+∞Vn=(0000)\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}V_n=(0 \quad 0 \quad 0 \quad 0)n→+∞limVn=(0000)

陷阱节点

陷阱节点是指，只有跳转至自身链接的节点，如下图中的C节点：


陷阱节点在概率转移矩阵中，对应的对角线元素为1，如下：

T=(01/2001/3001/21/3011/21/31/200)T = \left(

\begin{matrix}

0 & 1/2 & 0 & 0\\

1/3 & 0 & 0 & 1/2\\

1/3 & 0 & \color{red}\bm1 & 1/2\\

1/3 & 1/2 & 0 & 0

\end{matrix}

\right)T=⎝⎜⎜⎛01/31/31/31/2001/2001001/21/20⎠⎟⎟⎞

其中，状态转移矩阵对角线的第三个元素为1，表明第3个节点只有跳转至自身的链接，该节点为陷阱节点。

容易验证，执行第n次后，陷阱节点对应的PR值不断增大，即

Vn[3]=Vn−1[3]+∑j≠3T[3][j]⋅Vn−1[j]V_n[3]=V_{n-1}[3]+\sum_{j\neq 3} T[3][j]\cdot V_{n-1}[j]Vn[3]=Vn−1[3]+j̸=3∑T[3][j]⋅Vn−1[j]

最终得到PR向量为

lim⁡n→+∞Vn=(0010)\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}V_n=(0 \quad 0 \quad 1 \quad 0)n→+∞limVn=(0010)

解决思路

当用户遇到终止节点网页或陷阱节点网页，用户可通过在浏览器重新输入新的地址，以逃离这个网页。因此，对转移公式进行如下修正：

Vn=αT⋅Vn−1+(1−α)V0V_n = \alpha T\cdot V_{n-1} + (1-\alpha)V_0Vn=αT⋅Vn−1+(1−α)V0

可见，用户以1−α1-\alpha1−α的概率通过地址栏跳转至其它网页，α\alphaα值的大小与算法的收敛速度成反比，一般选取为0.85。

算法不足

第一，未区分站内导航链接。与站内导航链接相比，外链更能体现PR值的传递关系；

第二，未过滤广告链接和功能链接。如没有实际价值的广告链接，以及“分享到微博”等功能链接；

第三，对新网页不友好。新网页的入链较少，即使其内容质量很高，要获得高PR值仍需要很长时间；

算法实现

# encoding: utf-8

import numpy as np

from numpy.linalg import norm

def graph2trans_mat(graph):

"""

根据图生成概率转移矩阵

:param graph: list, [['A', 'B'], ...]表示节点A可向节点B转移

:return: numpy.array, 概率转移矩阵, 元素[i, j]表示节点j可向节点i的转移概率

"""

# 统计节点数

nodes_set = set()

for edge in graph:

if edge[0] not in nodes_set:

nodes_set.add(edge[0])

if edge[1] not in nodes_set:

nodes_set.add(edge[1])

# 定义节点字典, key为节点名称, value为节点编号

nodes_num = len(nodes_set)

nodes_dict = dict(zip(sorted(nodes_set), range(nodes_num)))

# 生成概率转移矩阵trans_mat, [i, j]为1表示节点j可向节点i转移

trans_mat = np.zeros((nodes_num, nodes_num), dtype=np.float64)

for j, i in graph:

trans_mat[nodes_dict[i], nodes_dict[j]] = 1.

# 列向量单位化

trans_mat /= trans_mat.sum(axis=0)

return trans_mat

def page_rank(trans_mat, alpha=0.85, max_iter=100, epsilon=1e-5):

"""

迭代计算节点的PR值

:param trans_mat: 概率转移矩阵，A[i][j]表示第j个节点转移到第i个节点的概率

:param alpha: 跳转至初始状态的因子

:param max_iter: 最大迭代次数

:param epsilon: 向量PRn与向量PRn_1之差的1范数小于该值时, 终止迭代

:return: list, 各节点的PR值

"""

# 节点数目

nodes_num = trans_mat.shape[0]

# 初始PR向量

PR0 = np.full((nodes_num, 1), 1. / nodes_num, dtype=np.float64)

PRn_1 = np.copy(PR0)

for i in range(max_iter):

PRn = alpha * np.dot(trans_mat, PRn_1) + (1 - alpha) * PR0

# PR向量改变较小时，终止迭代

if norm(PRn - PRn_1, ord=1) < epsilon:

break

else:

PRn_1 = PRn

return PRn_1

if __name__ == '__main__':

graph = [

['A', 'B'],

['A', 'C'],

['A', 'D'],

['B', 'A'],

['B', 'D'],

['C', 'A'],

['D', 'B'],

['D', 'C']

]

print(page_rank(trans_mat=graph2trans_mat(graph))[:, 0])

# [0.32455881 0.22514706 0.22514706 0.22514706]