背景：在深度学习优化算法，如:Momentum、RMSprop、Adam中都涉及到指数加权平均这个概念。为了系统的理解上面提到的三种深度学习优化算法，先着重理解一下指数加权平均(exponentially weighted averages)

定义

指数移动平均（EMA）也称为指数加权移动平均（EWMA），是一种求平均数的方法，应用指数级降低的加权因子。 每个较旧数据的权重都呈指数下降，从未达到零。

m个数据的数据集\({[\theta_1,\theta_2,...,\theta_m]}\)

  • 平均数的一般求解方法：\(v_{aver} = \frac{\theta1+\theta2+...+\theta_m}{m}\)
  • 指数加权平均的求解方法：
  • 参数 \(\beta\), \(v_0 = 0\);
  • \(v_t = \beta v_{t-1} + (1-\beta)\theta_t\) :前t个样本的平均数由前(t-1)个样本的平均数和第t个样本决定。

符号

含义

\(\beta\)

参数

\(v_0\)

初始平均值

\(v_t\)

前t条记录的平均值

\(\theta_t\)

第t条记录值

举例

有100天伦敦温度记录\({[\theta_1,\theta_2,...,\theta_{100}]}\)，计算伦敦100天温度平均值。如果\(\beta =0.9\)；

计算公式：

展开公式：

即：\(v_{100} = 0.1\theta_{100} + 0.1*0.9 \theta_{99} + 0.1*(0.9)^2 \theta_{98} + ... + 0.1*0.9^{99}\theta_1\)

可以看出：各个记录前的权重系数是以指数级下降的，但不为0。所以这种平均值的求解方法称为指数加权平均 。

温度平均值变化图：

应用

主要用在深度学习优化算法中，用来修改梯度下降算法中参数的更新方法。

在优化算法中，\(\frac{1}{1-\beta}\) 可以粗略表示指数加权平均考虑的样本数[由于随着样本容量t的逐渐增多，其系数指数下降，对平均值的贡献程度逐渐降低；影响平均值计算的几个关键样本就是最近几天的样本值，而这个样本量可以通过\(\frac{1}{1-\beta}\)

Momentum

初始化：\(v_{dW} = np.zeros(dW.shape)\) ; \(v_{db} = np.zeros(db.shape)\)

  • \(v_{dW}\)、 \(v_{db}\) 用来计算关于\(W\)、\(b\)

在第t次迭代中On iteration \(t\):

  • Compute \(dW\), \(db\) on the current mini-batch； 现在当前batch中计算\(dW\)、\(db\)
  • \(v_{dW} = \beta v_{dW} + (1-\beta)dW\) 【计算关于\(dW\)的平均。解释：dW看做是加速度，\(v_{dW}\) 下山速度， \(\beta\)
  • \(v_{db} = \beta v_{db} + (1-\beta)db\) 【计算关于\(db\)的平均】
  • **$W = W - \alpha v_{dW}, b=b-\alpha v_{db} \(** 【参数更新：用关于\)W\(、\)b$ 梯度的平均值来替换原来的\(dW\)、\(db\)】

超参数: \(\alpha, \beta\), ---\(\beta\)

RMSprop

初始化：\(S_{dW} = np.zeros(dW.shape)\) ; \(S_{db} = np.zeros(db.shape)\)

在t次迭代中On iteration \(t\):

  • Compute \(dW\),\(db\)
  • \(v_{dW} = \beta v_{dW} + (1-\beta)(dW)^2\) ; \(v_{db} = \beta v_{db} + (1-\beta) (db)^2\)
  • \(W = W - \alpha \frac{dW} {\sqrt{v_{dW} + \epsilon}}\) ; \(b = b - \alpha \frac{db}{\sqrt{v_{db}+\epsilon}}\) 【参数更新：除以平方根;加上\(\epsilon\)防止开平方根过小】

Adam = Momentum + RMSprop

初始化：\(v_{dW} = np.zeros(dW.shape)\) ; \(S_{dW} = np.zeros(dW.shape)\) ; \(v_{db} = np.zeros(db.shape)\) \(S_{db} = np.zeros(db.shape)\) ; ----初始为0；分别与dW、db shape相同；【\(v_{dW}\)、\(v_{db}\) 是Momentum算法；\(S_{dW}\)、\(S_{db}\)

t次迭代过程On iteration \(t\):

  • Compute \(dW, db\)
  • \(v_{dW} = \beta_1v_{dW} + (1-\beta_1) dW\) , \(v_{db} = \beta_1 v_{db} + (1-\beta_1) db\) -----------"Momentum" 超参数:\(\beta_1\)
  • \(S_{dW} = \beta_2 S_{dW} + (1-\beta_2) (dW)^2\), \(S_{db} = \beta_2 S_{db} + (1-\beta_2) (db)^2\) ------------"RMSprop" 超参数:\(\beta_2\)
  • biases correction 偏差修正:
  • \(v_{dW}^{correct} = \frac {v_{dW}}{(1-\beta_1^t)}\) , \(v_{db}^{correct} = \frac {v_{db}}{(1-\beta_1^t)}\)
  • \(S_{dW}^{correct} = \frac {S_{dW}}{(1-\beta_2^t)}\) , \(S_{db}^{correct} = \frac {S_{db}}{(1-\beta_2^t)}\)
  • \(W = W - \alpha \frac{v_{dW}^{correct}}{\sqrt{S_{dW}^{correct}+ \epsilon} }\) , \(b = b - \alpha \frac{v_{db}^{correct}}{\sqrt{S_{db}^{correct} + \epsilon } }\)

问题及改正

存在问题

指数加权平均早期估算过程中存在：偏差 。

由于指数加权平均初始值\(v_0 = 0\)，\(\beta = 0.9\)则:

  • \(v_1 = 0.9 * v_0 + 0.1*\theta_1 = 0.1\theta_1\)
  • \(v_2 = 0.9 * v_1 + 0.1 * \theta_2 = 0.09\theta_1 + 0.1\theta_2\)

就是说在平均值求解的刚开始几次计算过程中，计算的平均值过小，偏差过大。表现在下面的图里，绿线 是理想情况；紫线 是指数加权平均线。可以看出前几次平均值紫线比绿线要高一些！ 紫线早期过下，偏差过大。

改正方法

进行偏差纠正。

将计算的平均值结果除以\(1-\beta^t\)，即\(v_t = \frac{v_t}{1-\beta^t}=\frac{\beta v_{t-1} + (1-\beta)\theta_t}{1-\beta^t}\)

从计算公式可以看出\(v_t\) 随着计算样本t的增大，不断接近于没有进行偏差纠正的指数加权平均值。在图中表现就是随着样本的增大，紫线和绿线逐渐重合。