一、均匀分布
数学期望:E(x)=(a+b)/2
方差:D(x)=(b-a)²/12
若连续型随机变量X具有概率密度
f(x)={1b−a,0,a<x<b其他f(x)={1b−a,a<x<b0,其他
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为X~U(a,b)。
易知f(x)≥0f(x)≥0,且∫∞−∞f(x)dx=1∫−∞∞f(x)dx=1
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量X,具有下述意义的等可能性,即它落在区间(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在(a,b)的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。事实上,对于任一长度L的子区间(c,c+l),a≤c<c+l≤ba≤c<c+l≤b,有
P{c<X≤c+l}=∫c+lcf(x)dx=∫c+lc1b−adx=lb−aP{c<X≤c+l}=∫cc+lf(x)dx=∫cc+l1b−adx=lb−a
对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对于任意实数x有
F(x)=∫x−∞f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt
由上式得X的分布函数为
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x<aa≤x<bx≥bF(x)={0,x<ax−ab−a,a≤x<b1,x≥b
f(x)及F(x)的图形分别如图2-9,图2-10所示。
图2-9
图2-10
例:设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900ΩΩ~1100ΩΩ.求R概率密度及R落在950ΩΩ~1050ΩΩ的概率。
解:R的概率密度为
f(r)={11100−900,0,900<r<1100,其他。f(r)={11100−900,900<r<1100,0,其他。
故有P{950<R≤1050}=∫10509501200dr=0.5P{950<R≤1050}=∫95010501200dr=0.5
正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布,记为:
X∼N(μ,σ2),
参考:
一、均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度
f(x)={1b−a,0,a<x<b其他f(x)={1b−a,a<x<b0,其他
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为X~U(a,b)。
易知f(x)≥0f(x)≥0,且∫∞−∞f(x)dx=1∫−∞∞f(x)dx=1
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量X,具有下述意义的等可能性,即它落在区间(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在(a,b)的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。事实上,对于任一长度L的子区间(c,c+l),a≤c<c+l≤ba≤c<c+l≤b,有
P{c<X≤c+l}=∫c+lcf(x)dx=∫c+lc1b−adx=lb−aP{c<X≤c+l}=∫cc+lf(x)dx=∫cc+l1b−adx=lb−a
对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对于任意实数x有
F(x)=∫x−∞f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt
由上式得X的分布函数为
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x<aa≤x<bx≥bF(x)={0,x<ax−ab−a,a≤x<b1,x≥b
f(x)及F(x)的图形分别如图2-9,图2-10所示。
图2-9
图2-10
例:设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900ΩΩ~1100ΩΩ.求R概率密度及R落在950ΩΩ~1050ΩΩ的概率。
解:R的概率密度为
f(r)={11100−900,0,900<r<1100,其他。f(r)={11100−900,900<r<1100,0,其他。
故有P{950<R≤1050}=∫10509501200dr=0.5P{950<R≤1050}=∫95010501200dr=0.5
正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布,记为:
X∼N(μ,σ2),