residual standard error公式 standard error的计算

1. 测量标准误的意义

举例：分数不能代表一切，也就是说分数不能完全反映一个学生对知识的掌握情况。没休息好，身体不舒服都可能影响书面成绩，而我们也不可能重复考试，那么考试的分数和学生真实分数存在偏差。如何量化考试（测量手段）在反映学生水平时的误差就用到了测量标准误。

心理领域定义：对特定的一组考生来说，与考试分数有关的测量误差的标准差。

2. 测量标准误的计算方法

测量标准误是衡量测量中误差大小的客观指标。它广泛应用在教育、心理等领域。计算公式如（1），
$SEm=S \sqrt{1-r_{xx}} \tag1$
其中，$S$代表考试分数的标准差；$r_{xx}$代表测试的可靠性，即信度系数。如果统计中信度已知（默认0.75^【4】），那么直接代入（1）即可，或者通过公式（2）计算。
$r_{xx}=S_T^2/S_X^2 \tag2$
$S_T^2$代表真实水平的方差；$S_X^2$代表测试水平的方差;

由（1）可知，信度越高，标准误越小；效度越低，标准误越大。

3. $SEm$的置信区间

在描述$SEm$的时候通常伴随一个置信区间（Confidence Intervals，$CI$）。如给定了某次学生的书面分数（$Score$），由于它含有误差，那么可以给定一个一个范围、区间或分数范围来表征有多大的可能包括学生真正的分数。常见中的置信区间有如下几种：

$CI$	计算公式
68%	$Score$ ±$SEm$
95%	$Score$ ±(1.96*$SEm$)
99%	$Score$ ±(2.58*$SEm$)

4. 统计显著和实际显著

统计显著的意义大家都已经众所周知，利$p$值来衡量零假设是否显著，但在实际中，统计显著并不能反映实际的一些情况，如以配对$t$检验为例，当样本的变动很小或者样本数目很大时 （size effect），统计检验的结论对实际情况并没有指导意义^【5】。 因此， “实际显著” 这个概念就诞生了^【4】。测量标准误可以是一种对统计显著的信息补充，以近一步判断现实显著。

上述的描述如果过于复杂，那么我将简化一个例子。如果我们测量学生A的体重是50kg，学生B的体重是50.05kg。简单理解统计显著是均值的比较，则学生A的体重与学生B的体重显著不同。放在现实显著的概念里，我们并不认为两者的体重显著相关，因为比较小数点后两位的数字是没有现实意义的（$SEm$的作用：允许有区间波动并认为不显著）。

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实无名，名无实。名者，伪而已矣。

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5. 参考文献

【1】https://www.statisticshowto.com/standard-error-of-measurement/

【2】使用$SEm$时的常见问题

【3】$SEm$百科

【4】Peeters, M. J. . (2016). Practical significance: moving beyond statistical significance. Currents in Pharmacy Teaching & Learning, 8(1), 83-89.
【5】例子