var时间序列分析 时间序列分析var模型

对结构VAR模型中不同时刻随机变量建立有向非循环图（DAG），要检验随机变量之间的条件独立性，然后再对存在的相依联系确定方向。

1.线性结构VAR模型和线性广义条件独立图的定义

根据DAG的定义，并不是所有的VAR模型的因果相依联系都可以用DAG表示，首先提出线性结构VAR模型的定义。设$\mathbf{X}_{t}$是一个k维时间序列，$\mathbf{e}_{t}$是一个k维白噪声序列。

线性结构VAR模型 设k维时间序列$\left \{ X_{i,t},t\in \mathbf{Z}\right \}(i=1,2,...,k)$由满足下面条件的p阶线性结构VAR模型产生：$\mathbf{X}_{t}=\mathbf{\Phi}_{0}\mathbf{X}_{t}+\mathbf{\Phi}_{1}\mathbf{X}_{t-1}+\mathbf{\Phi}_{2}\mathbf{X}_{t-2}+...+\mathbf{\Phi}_{p}\mathbf{X}_{t-p}+\mathbf{e}_{t}$,
式中$\mathbf{\Phi}_{p}$是$k\times k$的常数矩阵。

条件1：$e_{1,t},e_{2,t},...,e_{k,t}(t\in \mathbf{Z})$是相互独立的，$e_{i,t}\sim N(0,\sigma_{i}^{2}) ,i\in \left \{ 1,2,...,k \right \}$

条件2：存在$i$和$j$，满足$\Phi _{p}(i,j)\ne 0,i,j\in \left \{ 1,2,...,k \right \}. \Phi _{p}(i,j)$表示矩阵的第$i$行第$j$列元素。

条件3：不存在指标序列$(j_{1},j_{2},...,j_{m})$，使$\Phi_{0}(j_{1},j_{2}),\Phi_{0}(j_{2},j_{3}),...,\Phi_{0}(j_{m-1},j_{m}),\Phi_{0}(j_{m},j_{m+1})$都非零。
则k维时间序列$\mathbf{X}_{t}$的因果相依联系可以表示为DAG，成$X_{1,t},X_{2,t},...,X_{k,t}$为当前变量或同期变量，称$X_{t-u}(u=1,2,...,p)$为滞后变量。
考虑到研究的主要目的是进行结构VAR模型的辨识，因此在建立图模型时只考虑两类联系：当前变量和滞后变量之间的联系$X_{i,t}— X_{t-u}(u=1,2,...,p)$及当前变量之间的联系$X_{i,t}— X_{j,t}(i\ne j)$.以检验$X_{a,t}$和$X_{b,t-m}$之间的条件独立性为例，理论上需要去掉所有其他随机变量的影响。在实际应用中，由于样本量的局限性，只需要考虑变量集$X_{t},X_{t-1},...,X_{t-L}$中除$X_{a,t}$和$X_{b,t-m}$外所有其他变量对$X_{a,t}$和$X_{b,t-m}$的影响，其中$L$为预先确定的正整数，满足对$u>L$，$\mathbf{X}_{t},\mathbf{X}_{t-u}$是独立的
首先构造向量$\mathbf{Y}_{ab,t}^{m} =(\mathbf{X}_{t-u},\mathbf{X}_{t-u},...,\mathbf{X}_{t-u})\setminus \left \{ X_{a,t},X_{b,t-m} \right \}$.
在给定$\mathbf{Y}_{ab,t}^{m}$的条件下，$X_{a,t}$和$X_{b,t-m}$之间线性相依联系的度量为线性条件互信息$I^{l}(X_{a,t},X_{b,t-m}|\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})=-H^{l}(X_{a,t},X_{b,t-m},\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})+H^{l}(X_{a,t},X_{b,t-m})+H^{l}(X_{b,t-m},\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})-H^{l}(\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})$
令$\Sigma _{}^{m},\Sigma _{a}^{m},\Sigma _{b}^{m},\Sigma _{ab}^{m}$分别表示随机向量$(\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})$,$(X_{a,t},\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})$,$(X_{b,t-m},\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})$,$(X_{a,t},X_{b,t-m},\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})$的协方差矩阵，则在给定$\mathbf{Y}_{ab,t}^{m}$的条件下，$X_{a,t}$和$X_{b,t-m}$之间线性相依联系的度量为线性条件互信息为$I^{l}(X_{a,t},X_{b,t-m}|\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})=\frac{1}{2}\ln(\frac{\left|\Sigma _{a}^{m}\right|\left|\Sigma _{b}^{m}\right|}{\left|\Sigma _{ab}^{m}\right|\left|\Sigma ^{m}\right|})$
设k维时间序列$X_{1,t},X_{2,t},...,X_{k,t}$为p阶线性结构VAR模型，考虑图$G=(V,E)$，定义顶点集为$V=\left \{0_{1},0_{2},...,0_{k},1_{1},1_{2},...,1_{k},...,p_{1},p_{2},...,p_{k} \right \}$，其中$0_{1},0_{2},...,0_{k}$表示随机变量$X_{1,t},X_{2,t},...,X_{k,t}$，用$u_{1},u_{2},...,u_{k}$表示随机变量$X_{1,t-u},X_{2,t-u},...,X_{k,t-u}(u=1,2,...,p)$
边集满足以下关系：
$0_{a}-m_{b}\notin E\Longleftrightarrow I^{l}(X_{a,t},X_{b,t-m}|\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})=0$,$a=b$时，$m\ne 0$
称图$G=(V,E)$为结构VAR（p）的线性广义条件独立图。
线性条件互信息是条件相依联系的一个无界度量，$I^{l}(X,Y|Z)\in [0,+\infty )$，这里用线性条件互信息的一个变换$\delta _{ab}^{l}(m)=1-exp[-I^{l}(X_{a,t},X_{b,t-m}|\mathbf{Y}_{ab,t}^{m})]=1-\sqrt{\frac{\left|\Sigma _{a}^{m}\right|\left|\Sigma _{b}^{m}\right|}{\left|\Sigma _{ab}^{m}\right|\left|\Sigma ^{m}\right|}}$容易推出$\delta _{ab}^{l}(.)\in [0,1)$
设图$G=(V,E)$是结构VAR（p）模型的线性广义条件独立图，则以下关系成立$0_{a}-m_{b}\notin E\Longleftrightarrow \delta _{ab}^{l}(m)=0$,当$a=b$时，$m\ne 0$.

2.结构VAR模型的线性相依联系检验

设得到一组由结构VAR模型产生的观测样本，要建立表示样本产生过程的线性条件独立图模型。两个顶点$0_{a}(X_{a,t}),m_{b}(X_{b,t-m})$之间没有边相连等价于$\delta_{ab}^{l}=0$。因此将条件独立图中边的存在性转化为检验$\delta_{ab}^{l}(m)$是否为0.即，$H_{0}:\delta_{ab}^{l}(m)=0, H_{1}:\delta_{ab}^{l}(m)\ne 0$
$\delta_{ab}^{l}(m)$的估计可由协方差矩阵$\Sigma _{}^{m},\Sigma _{a}^{m},\Sigma _{b}^{m},\Sigma _{ab}^{m}$的最大似然估计$\hat{\Sigma}_{}^{m},\hat{\Sigma}_{a}^{m},\hat{\Sigma} _{b}^{m},\hat{\Sigma} _{ab}^{m}$计算得到$\hat{\delta} _{ab}^{l}(m)=1-\sqrt{\frac{\left|\hat{\Sigma} _{a}^{m}\right|\left|\hat{\Sigma} _{b}^{m}\right|}{\left|\hat{\Sigma} _{ab}^{m}\right|\left|\hat{\Sigma} ^{m}\right|}}$
当样本量$n\longrightarrow \infty$时，$\hat{\delta} _{ab}^{l}(m)\overset{P}{\rightarrow}\delta_{ab}^{l}(m)$,即估计$\hat{\delta} _{ab}^{l}(m)$是相合的。

设得到k维时间序列的n个初始样本$\left \{x_{d,t}\right \}_{t=1}^{n}(d=1,2,...,k)$。将$k\times n$个初始样本$x_{1,1},x_{1,2},...,x_{1,n},...,x_{k,1},x_{k,2},...,x_{k,n}$记为$x_{1},x_{2},...,x_{n},...,x_{(k-1)\times n+1},x_{(k-1)\times n+2},...,x_{k\times n}$。设第i个置换样本为$x_{1}^{i} ,x_{2}^{i},...,x_{n}^{i},...,x_{(k-1)\times n+1}^{i},x_{(k-1)\times n+2}^{i},...,x_{k\times n}^{i}$，则$\tilde{x}_{1,t}^{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},...,x_{n}^{i}) \tilde{x}_{2,t}^{i}=(x_{n+1}^{i},x_{n+2}^{i},...,x_{2n}^{i}),..., \tilde{x}_{k,t}^{i}=(x_{(k-1)\times n+1}^{i},x_{(k-1)\times n+2}^{i},...,x_{k\times n}^{i})$.
检验结构VAR模型变量之间直接线性相依联系的步骤如下。
1.计算初始序列$\left \{x_{d,t}\right \}_{t=1}^{n}(d=1,2,...,k)$的统计量取值$\hat{\delta} _{ab}^{l}(m)$，其中，当$a=b$时，$m\ne 0$.
2.产生置换样本$(\tilde{x}_{1,t},\tilde{x}_{2,t},...,\tilde{x}_{k,t})$
3.计算序列$(\tilde{x}_{1,t},\tilde{x}_{2,t},...,\tilde{x}_{k,t})$的检验统计量取值，记为$\tilde{\delta}_{ab}^{l}(m)$
4.步骤2~3重复B次，产生B个$\tilde{\delta}_{ab}^{l}(m)$，其中B表示得到的置换样本个数。
5.计算检验的单边显著性概率$\hat{p}_{ab}(m)=\frac{1+\sharp [\tilde{\delta}_{ab}^{l}(m)\ge \hat{\delta}_{ab}^{l}(m)]}{1+B}$，式中，$\sharp [\tilde{\delta}_{ab}^{l}(m)\ge \hat{\delta}_{ab}^{l}(m)]$表示根据B个置换样本计算的$\delta_{ab}^{l}(m)\ge \hat{\delta}_{ab}^{l}(m)$的个数。
6.对选定的显著性水平$\alpha$，如果$\hat{p}_{ab}(m) \le \alpha$，则拒绝$\delta _{ab}^{l}(m)=0$的原假设。
计算出所有的$\hat{p}_{ij}(m)$.得到LGCIG。