python 算两个序列相关性 两个序列的互相关函数

序列的相关性

如果有几个序列，表面上很难看出它们之间的关系，但是如果对它们进行统计分析，则会发现一定的规律性。序列的相关性表明了序列间的相关程度，跟卷积一样，相关性(Correlation)也是信号分析中不可或缺的手段。

1.相关性的定义

两个序列x(n)、y(n)的互相关函数定义如下：
${r_{xy}}(n) = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {x(m)*y(m - n)}$
如果x(n)跟y(n)是同一个，那么就称为自相关函数，其实与互相关是一样的：
${r_{xy}}(n) = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {x(m)*x(m - n)}$
可以发现，相关函数的定义与卷积非常像，只是后半部分变反了，事实上有如下关系：
${r_{xy}}(n) = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {x(m)*y(m - n)} = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {x(m)*y[ - (n - m)] = x(n)*y( - n)}$
这样就可以利用卷积的去计算序列的相关性了。与卷积不同，序列的相关函数没有交换律，这意味着x(n)与y(n)哪个在前哪个在后很重要。

互相关函数的计算式并不要求两个序列的长度一样，但是一般应用情况下，即便不一样也会将较短序列末尾补零，使两个序列长度一致。

2.互相关的计算

举个例子：
$x = [3,6,2]\\ y = [2,1,0]$
计算过程如下：
$r_{xy}(-2) =\qquad\quad 3 \quad 6 \quad 2 \\ \qquad2 \quad 1 \quad 0 \quad \\ \qquad \ \ \ =0 \\[0.5cm] r_{xy}(-1) =\qquad\quad 3 \quad 6 \quad 2 \\ \qquad\qquad\qquad2 \quad 1 \quad 0 \quad \\ \qquad\qquad=3*1+6*0 = 3 \\[0.5cm] r_{xy}(0) =\qquad\quad 3 \quad 6 \quad 2 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad 2 \quad 1 \quad 0 \quad \\ \qquad \qquad \qquad\qquad=3*2+6*1+2*0= 12 \\[0.5cm] r_{xy}(1) =\qquad\quad 3 \quad 6 \quad 2 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad 2 \quad 1 \quad 0 \quad \\ \qquad \qquad =6*2+2*1= 14 \\[0.5cm] r_{xy}(2) =\qquad\quad 3 \quad 6 \quad 2 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2 \quad 1 \quad 0 \quad \\ =2*2=4$
可以看到计算过程为：移位、相乘、相加。比卷积少了一个翻转。

使用卷积计算互相关过程如下，只需要将后一个序列翻转：
$r_{xy}(n) = \quad3 \quad 6 \quad 2 \\ \qquad\qquad\quad0 \quad 1 \quad 2 \\ \rule[10pt]{5cm}{0.05cm}\\ \qquad\qquad\quad6 \quad 12 \quad 4 \\ \qquad3 \quad 6 \quad 2 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \quad\\ \rule[10pt]{5cm}{0.05cm}\\ \qquad\quad0 \quad 3 \quad 12 \quad 14 \quad 4$
最终计算结果为：
$r_{xy}(n) = [0,3,12,14,4]$
结果越大的点，表示相关性越好，可以看到，当n=1时，两个序列是“最像的时刻”

再举个例子计算自相关
$x(n) = [3,6,2]\\ r_{xx}(n) = [6,30,49,30,6]$
显然，当两个序列完移位至全重合时有最大值49，这就是说序列完全相同是最像

且可以发现，自相关是实偶对称的，并且输出数据长度满足N = N1+N2-1，与卷积一样。（一般补零也要让N1=N2）

3.相关性的matlab计算

x = [3,6,2];
y = [2,1,0];
r = xcorr(x,y)

结果为：

r =

    0.0000    3.0000   12.0000   14.0000    4.0000

4.应用举例

相关性是用来测量两个信号的相关程度，相关函数计算出来的值越大，就表明信号越相关。现在有两个传感器测量某种数据，但是这两个传感器有时延，首先需要进行数据同步。

数据如下：

load sensorData

t1 = (0:length(s1)-1)/Fs;
t2 = (0:length(s2)-1)/Fs;

subplot(2,1,1)
plot(t1,s1)
title('s_1')

subplot(2,1,2)
plot(t2,s2)
title('s_2')
xlabel('Time (s)')

可以看到两种传感器测得的数据应该是基本一致的，只是有一个延时，可以用相关性找到这个延时。

[acor,lag] = xcorr(s2,s1); %acor是输出数据，lag是移位量 注意s1、s2位置

[~,I] = max(abs(acor)); %最大值出的移位量就代表着延时
lagDiff = lag(I)

timeDiff = lagDiff/Fs  
figure(2)
plot(lag,acor)

lagDiff =

  -350
  
timeDiff =

   -0.0317

一定要想清楚计算相关的过程。s2是后一个序列，那就是将s2左移位直到s2最右边的数据与s1最左边的数据有重合位置开始算起，显然，s2最左边数据还没完全移到y轴上就已经产生了最大值（因为最大值就是两个信号最像），所以最大值所在点的索引值一定是负的，并且这个索引值就是两个信号的时延。

最后的结果表明s1信号比s2信号迟了0.0317秒，这个负号表示迟，若是正的则是早。

这就可将两个信号对齐同步：

s1al = s1(-lagDiff+1:end);
t1al = (0:length(s1al)-1)/Fs;

subplot(2,1,1)
plot(t1al,s1al)
title('s_1, aligned')

subplot(2,1,2)
plot(t2,s2)
title('s_2')
xlabel('Time (s)')

5.总结

序列的相关性表示了两个序列的相似程度，其计算方法与卷积类似，也可以使用快速卷积来计算序列的相关性。