最大匹配：二分图中边集的数目最大的那个匹配；
最小顶点覆盖：用最少的点，让每条边都至少和其中一个点关联；
最小边覆盖：用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点； （本质就是求有向最长路径）
最大独立集：在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边的点中，m的最大值。
任意图中的np难题这里不考虑，所以所有模型我们只考虑二分图。这里参考了这篇文章。
1、二分图中最小顶点覆盖等于最大匹配数
最小顶点覆盖：实质是个点集，点集里面的点能覆盖所有的边，最小顶点覆盖就是满足这个要求的点集中点数最小的那个。
证明1(是我的个人理解，其实是我没看懂别人的= =)：首先，最小顶点覆盖一定>=最大匹配，因为假设最大匹配为n，那么我们就得到了n条互不相邻的边，光覆盖这些边就要用到n个点。(参考金海峰，按照人家的思路来，省的别人说我这是瞎蒙的)这里事实上就可以看出最小顶点覆盖和最大匹配的不同了，最大匹配的点一定是两两成对的，而最小顶点覆盖还有相对孤立的点。注意是相对孤立，并不是他们之间肯定没有边，而是不属于匹配范围内的。那么匹配范围外的节点，一种就是有边和匹配范围内元素相连但是没有匹配到，一种就是没边。
有边的话这个边就连在了匹配范围内，那这个顶点覆盖代表元素就是既可以连接上匹配元素，又可以连接到非匹配元素，相当于这个非匹配范围内的元素被这个“特殊顶点”覆盖，最小顶点覆盖数并没有增加；
那么完全没边的孤立节点呢？好嘞，最小点集覆盖目的就是要覆盖所有的边，既然这个节点没有边相连，那还要你干毛？滚吧。这样依然没有影响最小顶点覆盖数。
至此，匹配范围外的所有节点都不可能影响到最小顶点覆盖数，所以两者完全相等。
证明2所有的边分为匹配的（A）边和不是匹配的边（B），最小点覆盖的点集就是要每条匹配的边两端顶点中的一个，
比如现在有x1-y1属于A，x1-y2属于B，对于x1-y1这条匹配边取x1而不取y1，这样就能覆盖到x1-y2，即B也能覆盖到
求最小顶点覆盖的一组解：
求最小覆盖的步骤大致如下：1）在右边找到一个未被匹配过的点，标记。2）走一条没被匹配过的边，到左边的点，标记。3）走一条匹配过的边到右边，标记。4）重复2,3步骤直到不能再走。5）回到步骤一，直到找不到未被匹配且未被标记的右边的点。6）标记结束后，右边没有标记的点，和左边标记过的点，就可以覆盖所有的边。
模板题：
SAM I AM
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define rap(i, a, n) for(int i=a; i<=n; i++)
#define MOD 2018
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define Pair pair<int, int>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define _ ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
//freopen("1.txt", "r", stdin);
using namespace std;
const int maxn = 1010, INF = 0x7fffffff;
int line[maxn][maxn], girl[maxn], used[maxn], boy[maxn], cx[maxn], cy[maxn];
int n, m, c;
bool find(int x)
{
for(int i=1; i<=m; i++)
{
if(line[x][i] == true && used[i] == false)
{
used[i] = 1;
if(girl[i] == 0 || find(girl[i]))
{
girl[i] = x;
boy[x] = i;
return true;
}
}
}
return false;
}
bool dfs(int y)
{
cy[y] = 1;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(line[i][y] && !cx[i])
{
cx[i] = 1;
if(boy[i] == 0 || dfs(boy[i]))
return true;
}
}
return false;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &c) && n+m+c)
{
int res = 0;
mem(line, 0);
mem(girl, 0);
mem(boy, 0);
mem(cx, 0);
mem(cy, 0);
mem(inx, 0);
mem(iny, 0);
rap(i, 1, c)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
line[a][b] = 1;
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
mem(used, 0);
if(find(i))
res++;
}
for(int i=1; i<=m; i++)
if(!girl[i]) dfs(i);
printf("%d", res);
rap(i, 1, n) if(cx[i]) printf(" r%d", i);
rap(i, 1, m) if(!cy[i]) printf(" c%d", i);
printf("\n");
}
return 0;
}
2、二分图中最小边覆盖=顶点数-最小顶点覆盖（最大匹配）
最小边覆盖：实质是个边集，这个集合里的边能覆盖所有的点，最小边覆盖是满足这个要求的所有边集中边数最少的一个。
这里顶点数等于总的顶点数，是二分图两边的顶点数，不是一边。
证明：(这里我看懂了该博客，所以直接贴上他的思路)设最大匹配数为m，总顶点数为n。为了使边数最少，又因为一条边最多能干掉两个点，所以尽量用边干掉两个点。也就是取有匹配的那些边，当然这些边是越多越好，那就是最大匹配了，所以先用最大匹配数目的边干掉大多数点。剩下的解决没有被匹配的点，就只能一条边干掉一个点了，设这些数目为a，显然，2m+a=n，而最小边覆盖=m+a，所以最小边覆盖=（2m+a）-m=n-m。
3、二分图中最大独立集+最小顶点覆盖（最大匹配）=顶点数
最大独立集：实质是个点集，这个集合里的点无论怎样都两两相连不到一起，满足这个要求的点数最少的一个。
证明：这个最好理解了，既然最小顶点覆盖就是最大匹配的那些顶点，那么剩下的节点就是相对孤立的点。而这些相对孤立的点两两肯定没有边(若有边，匹配数就该加一了，也就是这两点是匹配点)，不就是最大独立集吗？那这样所有的点就都考虑到了，两者一加就变成了所有顶点数。
自己选择的路，跪着也要走完。朋友们，虽然这个世界日益浮躁起来，只要能够为了当时纯粹的梦想和感动坚持努力下去，不管其它人怎么样，我们也能够保持自己的本色走下去。
