大家好啊，我们又见面了。听说有人想学数据结构与算法却不知道从何下手？那你就认真看完本篇文章，或许能从中找到方法与技巧。
本期我们就从斐波那契数列的几种解法入手，感受算法的强大与奥妙吧。
斐波那契数列
斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列指的是这样一个数列：
0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…
有一组数列，它的第一项为1，第二项为1，从第三项开始，每一项为前两项之和。
斐波那契数列的第n项Fn可以通过如下的递归公式定义：
F(1)=1，F(2)=1,
F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n ≥ 3，n ∈ N*)
通项公式
如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
注：此时a1=1，a2=1，a(n)=a(n-1)+a(n-2)，(n ≥ 3，n ∈ N*)
求第n项斐波那契数
现在写一个函数int fib(int n) 返回第n项Fn。例如，若n=0，则函数fib(0)应该返回0，若n=1, 则函数fib(1)应返回1，若 n > 1，返回 F(n-1)+F(n-2)。
若n = 9
输出：34
下面是返回斐波那契数列第n项Fn的不同方法：
方法1 (使用递归)
一个简捷的方法是直接使用递归定义关系式写出递归实现的代码，C/C++代码如下：
//Fibonacci Series using Recursion
#include
int fib(int n) {
if (n <= 1)
return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
int main() {
int n = 9;
printf("%d", fib(n));
return 0;
}输出：34
时间复杂度：T(n) = T(n-1) + T(n-2)，该时间复杂度是指数级别的
空间复杂度：如果考虑递归调用时栈的大小，则为O(n) ；如果不考虑调用栈的话，则为O(1)
通过观察，我们可以发现递归求解时做了很多重复的工作(见下面的递归调用树)。因此采用递归方式求解斐波那契数列的第n项Fn不是一种好的方法。
方法2 (使用动态规划Dynamic Programming：DP)
在方法1中，在求解某项时，如果我们把计算结果存储起来，则后续的计算就可以使用前面的计算结果，从而可以避免很多重复的计算，C/C++代码如下：
//Fibonacci Series using Dynamic Programming
#include
int fib(int n) {
/* Declare an array to store Fibonacci numbers. */
int f[n + 1];
int i;
/* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/
f[0] = 0;
f[1] = 1;
for (i = 2; i <= n; i++) {
/* Add the previous 2 numbers in the series
and store it */
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
return f[n];
}
int main() {
int n = 9;
printf("%d", fib(n));
return 0;
}输出：34
时间复杂度：O(n)
空间复杂度: O(n)
方法3 (对方法2进行空间上的优化)
由于在计算某项时只需其前面相邻的两项，因此可以对方法2中的空间进行优化，C/C++代码如下：
// Fibonacci Series using Space Optimized Method
#include
int fib(int n) {
int a = 0, b = 1, c, i;
if (n == 0)
return a;
for (i = 2; i <= n; i++) {
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return b;
}
int main() {
int n = 9;
printf("%d", fib(n));
return 0;
}输出：34
时间复杂度: O(n)
空间复杂度: O(1)
当然，也可以使用滚动数组。滚动数组不是什么高大上的技术，我们在计算斐波那契数列的过程中，始终使用相邻的前两项，加上正在计算的项，总共就三项，因此可以定义一个长度只有3的数组，可以滚动地使用0、1、2这三个下标。代码如下：
//Fibonacci Series using Dynamic Programming
#include
int fib(int n) {
/* Declare an array to store Fibonacci numbers. */
int f[3]; /* 只需定义一个长度为3的数组 */
int i;
/* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/
f[0] = 0;
f[1] = 1;
for (i = 2; i <= n; i++) {
/* Add the previous 2 numbers in the series
and store it：注意下标要对3取模 */
f[i % 3] = f[(i - 1) % 3] + f[(i - 2) % 3];
}
return f[n % 3]; /* 这里要注意下标对3取模 */
}
int main() {
int n = 9;
printf("%d", fib(n));
return 0;
}方法4 (使用矩阵{{1,1},{1,0}}的幂)
另外一种复杂度为O(n)的方法是对矩阵M={{1,1},{1,0}}自乘n次(换句话说，就是计算矩阵M的n次幂：power(M,n)), 这样就可以在结果矩阵下标为(0, 0)的地方得到斐波那契数列的第(n+1)项，如下所示：
#include
/* Helper function that multiplies 2 matrices F and M of size 2*2, and puts the multiplication result back to F[][] */
void multiply(int F[2][2], int M[2][2]);
/* Helper function that calculates F[][] raise to the power n and puts the result in F[][]。Note that this function is designed only for fib() and won't work as general power function */
void power(int F[2][2], int n);
int fib(int n) {
int F[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
if (n == 0)
return 0;
power(F, n - 1);
return F[0][0];
}
void multiply(int F[2][2], int M[2][2]) {
int x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];
int y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];
int z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];
int w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];
F[0][0] = x;
F[0][1] = y;
F[1][0] = z;
F[1][1] = w;
}
void power(int F[2][2], int n) {
int i;
int M[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
// n - 1 times multiply the matrix to {{1,0},{0,1}}
for (i = 2; i <= n; i++)
multiply(F, M);
}
/* Driver program to test above function */
int main() {
int n = 9;
printf("%d", fib(n));
return 0;
}输出：34
时间复杂度: O(n)
空间复杂度: O(1)
方法 5 (对方法4进行优化 )
上面的方法4可以优化到)的时间复杂度。我们可以像计算x^n那样，采用递归的方式来计算power(M, n) ，C/C++代码如下：
#include
void multiply(int F[2][2], int M[2][2]);
void power(int F[2][2], int n);
/* function that returns nth Fibonacci number */
int fib(int n) {
int F[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
if (n == 0)
return 0;
power(F, n - 1);
return F[0][0];
}
/* Optimized version of power() in method 4 */
void power(int F[2][2], int n) {
if (n == 0 || n == 1)
return;
int M[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
power(F, n / 2);
multiply(F, F);
if (n % 2 != 0)
multiply(F, M);
}
void multiply(int F[2][2], int M[2][2]) {
int x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];
int y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];
int z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];
int w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];
F[0][0] = x;
F[0][1] = y;
F[1][0] = z;
F[1][1] = w;
}
/* Driver program to test above function */
int main() {
int n = 9;
printf("%d", fib(n));
return 0;
}输出：34
时间复杂度: O(Logn)
空间复杂度: 如果考虑递归调用时栈的大小，则为O(n) ；如果不考虑调用栈的话，则为O(1)
方法 6 (O(Log n) 的时间复杂度)
下面是一个很有趣的计算斐波那契数列第n项的递归公式，该公式的时间复杂度为O(Log n)。
如果n是偶数， 则k=n/2，
F(n)=[2*F(k-1)+F(k)]*F(k)
如果n是奇数，则 k=(n+1)/2
F(n)=F(k)*F(k)+F(k-1)*F(k-1)
该公式是如何计算的？上面的公式可以从前面的矩阵幂推算出来：
要证明上面的公式成立，只需做下面的工作即可：
如果n是偶数, 令 k = n/2
如果n是奇数, 令 k = (n+1)/2
下面是上述过程的C++ 实现：
// C++ Program to find n'th fibonacci Number in
// with O(Log n) arithmatic operations
#include
using namespace std;
const int MAX = 1000;
// Create an array for memoization
int f[MAX] = { 0 };
// Returns n'th fuibonacci number using table f[]
int fib(int n) {
// Base cases
if (n == 0)
return 0;
if (n == 1 || n == 2)
return (f[n] = 1);
// If fib(n) is already computed
if (f[n])
return f[n];
int k = (n & 1) ? (n + 1) / 2 : n / 2;
// Applyting above formula [Note value n&1 is 1
// if n is odd, else 0.
f[n] = (n & 1) ?
(fib(k) * fib(k) + fib(k - 1) * fib(k - 1)) :
(2 * fib(k - 1) + fib(k)) * fib(k);
return f[n];
}
/* Driver program to test above function */
int main() {
int n = 9;
printf("%d ", fib(n));
return 0;
}输出：34
时间复杂度为：O(Log n) ，因为每次递归调用时都将问题规模降了一半
方法 7 (使用Java提供的BigInteger类)
Java提供了BigInteger类，可以很轻易地算出当n很大时的斐波那契数。
// Java program to compute n-th Fibonacci number where n may be large.
import java.math.*;
public class Fibonacci {
// Returns n-th Fibonacci number
static BigInteger fib(int n) {
BigInteger a = BigInteger.valueOf(0);
BigInteger b = BigInteger.valueOf(1);
BigInteger c = BigInteger.valueOf(1);
for (int j = 2; j <= n; j++) {
c = a.add(b);
a = b;
b = c;
}
return (a);
}
public static void main(String[] args) {
int n = 1000;
System.out.println("Fibonacci of " + n + "th term" + " " + "is" + " " + fib(n));
}
}
