一、傅里叶变换 （FT）
二、傅里叶变换（FT）的缺点与短时傅里叶变换（STFT）
三、短时傅里叶变换（STFT）的缺点与连续小波变换（CWT）
四、连续小波变换（CWT）的缺点与离散小波变换（DWT）
源代码：1368069096/From_FT_to_WT_examples-
二、傅里叶变换（FT）的缺点与短时傅里叶变换（STFT）
1、离散傅里叶变换（DFT）
在上一篇文章里，我们讲解了FT的本质（1335：从傅里叶变换进阶到小波变换（一））。
在本文正式开始之前，我们需要明确一下实际信号进行的FT的一些特殊之处。实际采集的信号往往是这样的：
实际的信号往往具有两个特点：1、离散性，就是采集数据不连续，很容易理解，采集信号肯定是一个一个数据采集的；2、有限性，虽然理想的傅里叶变换是从
进行积分，但是实际信号往往实在一个区间内(a,b)的。
所以，我们要用到离散傅里叶变换（DISCRETE FOURIER TRANSFORM，简称DFT），DFT与FT相比，就是多了两个特征：1、离散型，2、有限性。
来，我们来一起试一试如何推导DFT公式。首先设采集了N个信号点，其时刻为
，对应时刻采集到的信号值为
。很自然的，原来信号连续，是积分，现在数据离散了，那就是把积分变成累加。于是我们得到：
。
这么一来，我们发现，原信号有N个数据点，DFT变换后的信号却变成连续的了，我们将之称为离散时间傅里叶变换（DISCRETE TIME FOURIER TRANSFORM，简称DTFT）。
DTFT有两个缺点，第一，
且连续，需要进行无数次计算，计算机无法计算；第二，在进行计算的时候，我们需要已知：
和
，但是调用过FFT函数的同学都知道，FFT只需要已知
就可以进行。
这是怎么回事呢？
首先，我们使用相对采样时间
代替真实采样时间
，
可以得到：
。
此时我们发现，
变成了以
为周期的函数，即
那么，我们只需要计算
区间的
，就可以得到
区间的
了。也就是说，通过使用相对采样时间
代替真实采样时间
，我们将
的范围从
缩小到了
。
自然地，我们希望将
离散化称为N个点，这样计算机就可以计算了！则取
，则有：
好了，这就是离散傅里叶变换DFT了！
接下来，来看DFT的两个性质：
第一，
，即
是所有元素的和，通常会比其他的元素大几个数量级。
第二，
，
，
，即第二个元素和最后一个元素共轭，同理有
等等。
如下图所示，DFT之后的
个元素中，第一个为均值；之后的
个元素，只有一半元素是独立的。
需要说明，这里
是一种相对频率，独立元素中，最小相对频域为1，最大相对频率为
。
要想把
还原到真实的频率
，只需要
，将
映射到
即可，
为采样频率。
PS：简单说一下，根据香农采样定理，当采样频率为
时，能采到的最大信号频率为
。因此，将相对频率
通过公式
，得到的
就在区间
内，也就是真实频率的区间了。
所以DFT公式为：
PS：DFT公式的形式很多，有的是从时域到频域，有的是从空间域到频域，但是本质都是一样的，抓住离散性和有限性两个特点即可。离散性是指积分变成了累加，有限性是指积分/累加区间不是
了，而是一个有限区间了。
2、傅里叶变换（FT）的缺点
应该说明，虽然本小节的题目是FT的缺点，但是FT和DFT的本质是相同的。由于信号都是有限长度的、离散的，所以接下来进行的都是DFT，不过在某些部分为了方便理解，还是写了FT的公式。在看本文的时候，你不需要刻意区分这两个概念。
我们现在来看两个信号，如下图：
，
。
这两个信号都是由sin(t)和sin(5t)组成的，y1是先出现了sin(5t)，再出现了sin(t)，y2是先出现了sin(t)，再出现了sin(5t)。
我们对它们进行FT，看看他们包含怎么样的频率，如下图：
y1,FT
y2,FT
Amazing！发现了什么？变换后的结果是一模一样的，都在w=1rad/s和w=5rad/s出现了峰值！这就可以说明FT的缺点了——FT只能提供频域信息，而完全丢失了时域信息！！！
不管某一频率的信号出现的时间是早还是晚，FT都是将它一视同仁地乘上sin和cos(FT的变换基函数)，然后在整个时间区间加和。因此，它不能提供某一频率信号出现的时间。
比如，对于上面两个信号，FT只能告诉我们，它们都有1rad/s和5rad/s的频率，而不能告诉我们1rad/s和5rad/s分别出现在哪个时间段。
所以，怎么办呢？？？
先别看下面，你自己想三想，你肯定可以想到的！
想一想——
想二想——
想三想——
好了，你想的是对的！
那就是把信号分成左右两半啊！左边进行一次FT，右边进行一次FT，很简单吧！好了，这就是短时傅里叶变换（STFT）的基本原理。
所以，接下来我们要正式开始步入——短时傅里叶变换（STFT），看看它是如何解决这个问题的。
3、短时傅里叶变换（STFT）
如上所述，我们将信号从中间截断，左边进行一次FT，右边进行一次FT，分别来看看。
y1左
y1右
y2左
y2右
可以看出，y1的左半部分是5rad/s，右半部分是1rad/s，y2恰好相反。这就说明，在y1中，(0, 25)的信号是5rad/s的频率，(25, 50)的信号是5rad/s的频率，y2恰好相反。这就是短时傅里叶变换的基本原理。
但是数学嘛，能用一个公式表达的，就别用一段话表达，截断、切开这些语句太不专业了。截断、切开的操作，更专业的讲叫作分窗，其实是可以通过数学上的处理变成DFT变换的基函数的一部分的。接下来我们来看一看。
首先，你可以想象一下，有一个窗子在这个信号上从左向右滑动，每次你都只能看到这个信号的一部分，所以我们把这个长度叫作窗长width。
现在我们来定义一个方窗函数：
，如下图，即是width = 10 的一个方窗函数：
定义了方窗函数之后，我们只需要对方窗函数进行平移，再与原信号作乘，就相当于原来的截断、切开的操作，因此这种操作更专业地叫作分窗。
那么，将方窗函数向右平移了
（s可能是sliding的意思吧），再与原信号相乘，由于方窗函数除了中心的width部分是1外，其他部分都是0，这就相当于提取出了原信号在
处，宽度为width的部分，这个信号分窗这个操作就可以写成：
。
如下两图所示，将
与
相乘，就相当于取出来了
中的(20,30)中的一段。
那么，我们对原信号中被提取出来的这一部分进行FT，就可以写成：
PS：这里之所以
要变成
，是为了保证做FT的时候相乘的基函数具有统一性。
如此，变换后的
代表
原信号在
处、宽度为width的部分的傅里叶变换，也就可以提取出来 原信号在
处、宽度为width的部分，包含各个频率部分的多少！带入不同的
，也就是随着窗子的滑动，就可以知道不同的时间段内频率的成分。
我们采用width为10的方窗函数对
进行STFT，如下：
首先，方窗函数位于
处，与原始信号相乘，选择出(0,10)的信号。
对选择出来的信号进行FT。可以看到，当
时，选择的时间区间为(0,10)，这一部分只包含了
的频率成分。
之后，方窗函数向右移动，与原始信号相乘，选择出不同时间区间的信号，进行FT。这里选择
进行展示。
可以看到，当
时，选择的时间区间为(20,30)，这一部分即包含了
的频率成分，也包含了
的频率成分。
重复以上过程，我们可以将方窗函数选择的不同时间区间的信号的FT的结果拼合起来，形成一张三维图。由此，我们即可知道，在
的时间区间内，信号具有怎么样的频率成分。
通过width = 10的方窗的STFT结果，我们可以知道，对于信号：
，在(0,10)、(10,20)时间区间内，具有20rad/s的频率成分；在(20,30)时间区间内，具有1rad/s和20rad/s的频率成分；在(30,40)、(40,50)时间区间内，具有1rad/s的频率成分。
最后，进行三点重要的讨论。
第一点，变换之后的
是一个三维函数，它有两个自变量，
和w。
指的是
原信号在
处，w上一篇文章我们已经讨论过了，就是频率。所以，STFT提取出来的信息就是： 原信号在
处、宽度为width的部分，包含的频率信息。
原则上讲，可以得到任一
对应的频率成分，如下图。
但是
是连续的，并不意味着你知道了每个时刻的频率成分，你知道的还只是
这一段区间内的频率信息。所以一般不需要计算所有的
，每隔width计算一次即可。
你或许会想，我把width缩小一些，不就可以知道更精确的时间范围内的频率了吗？是的，你的猜想很对！但是，如此做也会带来一些频域分辨率的问题。这一点涉及到一些时域分辨率和频域分辨率的知识，我们下一篇文章会着重讲。
第二点，方窗函数是可以包含入变换基函数内部的，这组成了新的基函数，同时反映了STFT的本质。
我们来看， 如果定义
，那么
那么，STFT的公式：
就可以写成：
我们在上一篇文章里说过，变换就是将原信号乘上一个基函数，再积分的过程，那么，SDFT的基函数就是
！
Amazing！所以，STFT的本质是什么呢？
STFT的本质就是将FT的基函数
乘上一个方窗函数，形成了一个新的基函数
！
前面说的分窗、截断之类的都是表象， STFT的本质是基函数的改变！
那么，为什么STFT的基函数可以用于分窗，而FT的基函数不行呢？我们来看，我用正弦函数sin(5t)表示原来的基函数
，那么FT基函数和STFT基函数如下：
原因就是：FT的基函数是在时域无限延伸的，因此，无论怎么平移，都是任分布在整个时域的，起不到分窗的作用。而STFT的基函数只在时域一段不为0，在剩下的时域都是0，因此，STFT的基函数的平移，就相当于自动加了窗子啦！
这种只在时域一段不为0，在剩下的时域都是0的性质被称为“紧支撑性”（compactly supported），具有这种性质的函数，平移之后与一个信号相乘，就相当于分窗操作。这一点很重要，我们之后讲小波变换的基函数的时候还会讲。
第三点，我们前面对于分窗操作使用的函数一直称为“方窗函数”，这是一种最理想的窗函数。还有一些其他的窗函数，比如，汉宁窗、海明窗、高斯窗等。窗函数本质都是一个窗子而已，原理是一模一样的，上面所有的讨论也都成立，只是这些窗子会让信号稍稍变形一丢丢而已。你就想像方窗函数就是一面平面镜，其他的窗函数就是哈哈镜就行了。
1335：从傅里叶变换进阶到小波变换（一）zhuanlan.zhihu.com
1335：从傅里叶变换进阶到小波变换（三）zhuanlan.zhihu.com
1335：从傅里叶变换进阶到小波变换（四）zhuanlan.zhihu.com
