最短路径算法
在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：
（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２ Dijkstra算法
2.1 Dijkstra算法
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想
Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2.3 Dijkstra算法具体步骤
（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。
（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
2.4 Dijkstra算法举例说明
如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）
图一：Dijkstra无向图
算法执行步骤如下表：
参考文献
[1] 黄国瑜、叶乃菁，数据结构，清华大学出版社，2001年8月第1版
[2] 最短路径，http://baike.baidu.com/view/349189.htm?func=retitle
[3] 李春葆，数据结构教程，清华大学出版社，2005年1月第1版
[3] Dijkstra算法，http://baike.baidu.com/view/7839.htm
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C#实现Dijkstra算法
把作者的数据改成了上图的数据，0点代表上图的A点，1点代表B点，依次类推
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
namespace DijkstraSample
{
class Program
{
static int
static string[] shortedPath = new string[length];
static int
static int
//static int[,] G = { { noPath, noPath, 10, noPath, 30, 100 }, { noPath, noPath, 5, noPath, noPath, noPath }, { noPath, noPath, noPath, 50, noPath, noPath }, { noPath, noPath, noPath, noPath, noPath, 10 }, { noPath, noPath, noPath, 20, noPath, 60 }, { noPath, noPath, noPath, noPath, noPath, noPath } };
static int[,] G = {
{ noPath, 6, 3, noPath, noPath, noPath },
{ 6, noPath, 2, 5, noPath, noPath },
{ 3, 2, noPath, 3, 4, noPath },
{ noPath, 5, 3, noPath, 2, 3 },
{ noPath, noPath, 4,2, noPath,5 },
{ noPath, noPath, noPath, 3, 5, noPath }
};
static string[] PathResult = new string[length];
static int[] path1 = new int[length];
static int[,] path2 = new int[length, length];
static int[] distance2 = new int[length];
static void Main(string[] args)
{
int
Console.WriteLine("点0到点5路径:");
for (int
Console.Write(path1[i].ToString() + " ");
Console.WriteLine("长度:"
int[] pathdist = getShortedPath(G, 0, path2);
Console.WriteLine("点0到任意点的路径:");
for (int
{
Console.WriteLine("点0到" + j + "的路径:");
for (int
Console.Write(path2[j, i].ToString() + " ");
Console.WriteLine("长度:"
}
Console.ReadKey();
}
//从某一源点出发，找到到某一结点的最短路径
static int getShortedPath(int[,] G, int start, int end, int[] path)
{
bool[] s = new bool[length]; //表示找到起始结点与当前结点间的最短路径
int min; //最小距离临时变量
int curNode = 0; //临时结点，记录当前正计算结点
int[] dist = new int[length];
int[] prev = new int[length];
//初始结点信息
for (int
{
false;
dist[v] = G[start, v];
if
prev[v] = 0;
else
prev[v] = start;
}
path[0] = end;
dist[start] = 0;
true;
//主循环
for (int
{
min = MaxSize;
for (int
{
if
{
curNode = w;
min = dist[w];
}
}
true;
for (int
if
{
dist[j] = min + G[curNode, j];
prev[j] = curNode;
}
}
//输出路径结点
int
while
{
step++;
path[step] = prev[e];
e = prev[e];
}
for (int
{
int
path[step - i] = path[i];
path[i] = temp;
}
return
}
//从某一源点出发，找到到所有结点的最短路径
staticint[] getShortedPath(int[,] G, int start, int[,] path)
{
int[] PathID = new int[length];//路径（用编号表示）
bool[] s = new bool[length]; //表示找到起始结点与当前结点间的最短路径
int min; //最小距离临时变量
int curNode = 0; //临时结点，记录当前正计算结点
int[] dist = new int[length];
int[] prev = new int[length];
//初始结点信息
for (int
{
false;
dist[v] = G[start, v];
if
prev[v] = 0;
else
prev[v] = start;
path[v, 0] = v;
}
dist[start] = 0;
true;
//主循环
for (int
{
min = MaxSize;
for (int
{
if
{
curNode = w;
min = dist[w];
}
}
true;
for (int
if
{
dist[j] = min + G[curNode, j];
prev[j] = curNode;
}
}
//输出路径结点
for (int
{
int
while
{
step++;
path[k, step] = prev[e];
e = prev[e];
}
for (int
{
int
path[k, step - i] = path[k, i];
path[k, i] = temp;
}
}
return
}
}
}
