less的插值语法 lagrange插值法原理

Lagrange（拉格朗日）插值法

Lagrange插值法是一种多项式插值方法。

1. 线性插值（两点插值或一次插值）

线性插值就是通过两个采样点$(x_0,y_0)$和$(x_1,y_1)$，作一直线$p_1(x)$来近似代替$f(x)$。根据插值条件（定义1），有
$p_1(x_0)=y_0, \quad p_1(x_1)=y_1$
因此，可以写出直线$p_1(x)$的以下两种表达式：

（1）点斜式：$p_1(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$

（2）对称式：$p_1(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1$

在点斜式中，$\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$即为差商，即当$x_1\to x_0$时，它就是$y_0$。将其代入点斜式方程中，可得到$p_1(x)$的极限形式：
$p_1(x)=y_0+y_0$
这就是一阶Taylor（泰勒）多项式。在这里，$p_1(x)$由两项组成：一项是x的零次多项式，另一项为x的一次多项式。$p_1(x)$的这种组成形式就是后面将要介绍的Newton（牛顿）插值公式的形式。

在对称式中，若令
$\frac{x-x_1}{x_0-x_1}=l_0(x), \quad \frac{x-x_0}{x_1-x_0}=l_1(x) \tag{1}$
则有
$p_1(x)=l_0(x)·y_0+l_1(x)·y_1 \tag{2}$
（1）和（2）式就是线性插值公式。其中，$l_0(x)$和$l_1(x)$是关于x的线性多项式，称之为插值基函数。它们在节点$x_0$和$x_1$处分别满足：
$l_0(x_0)=1, \quad l_0(x_1)=0 \\ l_1(x_0)=0, \quad l_1(x_1)=1$
于是，可得出重要结论：满足插值条件$p_1(x_0)=y_0,p_1(x_1)=y_1$的一次插值多项式$p_1(x)$，可用两个插值基函数$l_0(x)$和$l_1(x)$进行线性组合构造。即
$p_1(x)=l_0(x)·y_0+l_1(x)·y_1$

2. 抛物插值（三点插值或二次插值）

抛物插值就是通过3个采样点$(x_0,y_0),(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$构造一个二次多项式$p_2(x)$来近似代替$f(x)$。根据插值条件（定义1），有：
$p_2(x)=y, \quad(i=0,1,2)$
因此，根据插值条件，用待定系数法可以确定出二次多项式$p_2(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$的各个系数。这里为避免解方程组，使用基函数线性组合的构造方法来求二次多项式$p_2(x)$。由线性插值的结论推广可知。该二次多项式$p_2(x)$可用3个插值基函数$l_0(x),l_1(x)$和$l_2(x)$进行线性组合构造。即：
$p_2(x)=l_0(x)·y_0+l_1(x)·y_1+l_2(x)·y_2 \tag{3}$
3个插值基函数在插值节点$x_0,x_1$和$x_2$处应该分别满足：
$l_0(x_0)=1 \quad l_0(x_1)=0 \quad l_0(x_2)=0 \\ l_1(x_0)=0 \quad l_1(x_1)=1 \quad l_1(x_2)=0 \\ l_2(x_0)=0 \quad l_2(x_1)=0 \quad l_2(x_2)=1$
即只要确定出3个插值基函数即可。

根据$l_0(x_1)=l_0(x_2)=0$，可假设$l_0(x)=C(x-x_1)(x-x_2)$；将$l_0(x_0)=1$代入，得：
$C(x_0-x_1)(x_0-x_2)=1$
即
$C=\frac{1}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$
所以
$l_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \tag{4}$
同理
$l_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \tag{5}$

$l_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \tag{6}$

这样，由（3）、（4）、（5）和（6）式就构成了抛物插值公式。即：
$p_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}·y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}·y_1+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}·y_2$
所以，抛物插值公式由3个二次插值基函数线性组合而成。

3. Lagrange插值

Lagrange插值法就是通过多个采样点$(x_i,y_i)(i=0,1,2,\cdots,n)$构造一个高次多项式$p(x)$来近似代替$f(x)$。关于插值节点数和多项式次数之间的关系，有如下定理：

定理1：在$n+1$个互异的插值节点$x_0,x_1,x_2,\cdots,x_n$上，满足插值条件定义1式并且次数不高于n的代数多项式$p_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$存在且惟一。

证明：根据插值条件，有：
$\begin{cases} p_n(x_0)=a_0+a_1x_0+a_2x_0^2+\cdots+a_nx_0^n=y_0 \\ p_n(x_1)=a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+\cdots+a_nx_1^n=y_1 \\ \vdots \\ p_n(x_n)=a_0+a_1x_n+a_2x_n^2+\cdots+a_nx_n^n=y_n \end{cases}$
该式是一个关于未知数$a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$的线性方程组，其系数矩阵的行列式是Vandermonde（范德蒙）行列式：
$V = \begin{vmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} = \prod_{n\geq i>j\geq1}(x_i-x_j)$
因为$x_i\neq x_j(i\neq j)$，所以$V\neq 0$。根据Gramer法则，该线性方程组有惟一解$a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$，从而$p_n(x)$存在且惟一。

根据定理1，由n+1个采样点可以惟一第构造出一个次数不高于n的插值多项式$p_n(x)$。在构造该插值多项式时，同样采用基函数线性组合的构造方法。可认为该插值多项式$p_n(x)$由n+1个插值基函数线性组合而成，其组合系数就是对应插值节点上的函数值$y_i(i=0,1,2,\cdots,n)$，即：
$p_n(x)=l_0(x)y_0+l_1(x)y_1+\cdots+l_k(x)y_k+\cdots+l_n(x)y_n$
或
$p_n(x)=\sum_{i=0}^nl_i(x)y_i \tag{7}$
在插值节点$x_i$上，该多项式满足插值条件：
$p_n(x_i)=y_i, \quad (i=0,1,2,\cdots,k,\cdots,n)$
因此，为了使插值条件成立，这n+1个插值基函数$l_i(x)(i=0,1,2,\cdots,k,\cdots,n)$在n+1个插值节点上必须分别满足：
$l_i(x_k)=\begin{cases} 0, & k\neq i \\ 1, & k=i \end{cases}$
因此，插值基函数$l_i(x)$有一个非零点$x_i$和n个零点$x_0,x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},x_n$，即可设
$l_i(x)=(x-x_0)(x-x_i)\cdots(x-x_{i-1})·C·(x-x_{i+1})\cdots (x-x_n)=C\prod_{k=0, k\neq i}^n(x-x_k)$
再由$l_i(x_i)=1$，即可确定它的常系数为$C=\frac{1}{\prod_{k=0,k\neq i}(x_i-x_k)}$，最后得到插值基函数为：
$l_i(x)=\frac{\prod_{k=0,k\neq i}^n(x-x_k)}{\prod_{k=0,k\neq i}^n(x_i-x_k)}=\prod_{k=0,k\neq i}^n\frac{x-x_k}{x_i-x_k} \quad(i=0,1,2,\cdots,n)$
这样就可得到n+1个插值基函数$l_i(x)(i=0,1,2,\cdots,n)$，代入（7）式，就得到Lagrange插值公式：
$p_n(x)=\sum_{i=0}^nl_i(x)·y_i=\sum_{i=0}^n(\prod_{k=0,k\neq i}^n\frac{x-x_k}{x_i-x_k})·y_i \tag{8}$
Lagrange插值公式具有以下特点：

（1）对称性：$p_n(x)$与插值节点的排列顺序无关，只与$(x_i,y_i)(i=0,1,2,\cdots,n)$有关。

（2）n=1为线性插值公式，n=2为抛物插值公式。

（3）当插值节点数变化时，基函数需要重新计算。