文章目录
- 1、题目描述
- 2、解题思路
- 2.1 暴力遍历
- 2.2 递归快速幂
- 2.3 非递归快速幂
- 3、解题代码
- 3.1 暴力遍历
- 3.2 递归快速幂
- 4、解题心得
1、题目描述
【JZ12】给定一个 double 类型的浮点数 base 和 int 类型的整数 exponent 。求 base 的 exponent 次方。保证 base 和 exponent 不同时为0。
知识点:数学,递归,快速幂
难度:☆☆
2、解题思路
为了节省打字,以下把 base 缩写为 b,把 exponent 缩写为 e 。
当 e为负数时,等同于求 b的倒数的 -e 次方。
2.1 暴力遍历
求 b 的 e 次方,本质就是 b 自我相乘 e 次。
2.2 递归快速幂
假设我们求 be
当 e 为偶数时,等价于求 ( be/2 )2;
当 e 为奇数时,等价于求 ( be-1/2 )2 × b;
因此,当我们求 be 时,可以先求 be/2 ,然后平方即可。
2.3 非递归快速幂
有这么一个数学规律如下:
如果 b 的二进制表示为 0b101010
那么 b = 1×25 + 0×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20
例如:当 b = 11 时
二进制表示为 0b1011
则 b = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
以这个数学规律为基础,求 be 就可以进行拆分,例如求 710,就可以拆分成如下:
观察上面的展开式子可以发现,若 exponent 的有效二进制位全为1,那么最终展开式子刚好就是 base0 × base2 × base4 × base8 × … ,也就是说,每一项的值都是前一项的平方,而 exponent 的有效二进制为的0和1就是决定该项是否参与计算,若为0,那么该项就变为1,即 x0 = 1。
得到上面这个结论,我们就可以书写算法步骤了。
算法步骤为:
1、定义变量 x = base 表示第 0 项的值,定义 result = 1.0 存储计算结果,定义 n = exponent 用于遍历有效二进制位。
2、n 和 1 进行“与运算”:
2.1 若结果为 1 ,说明 n 的最低位为1,当前项的值有效,执行 result = result * x,然后下一项的值应该为当前项的值的平方,即 x 更新为 x * x,然后 n 右移一位,回到第2步。
2.2 若结果为0,说明 n 的最低位为0,当前项的值无效,result 不计算当前项,然后计算下一项的值,即更新 x 为 x * x,然后 n 右移一位,回到第2步。
3、当 n 的有效二进制位遍历完毕,则算法结束。
3、解题代码
3.1 暴力遍历
package pers.klb.jzoffer.medium;
/**
* @program: JzOffer2021
* @description: 数值的整数次方(暴力遍历)
* @author: Meumax
* @create: 2020-07-12 09:52
**/
public class ExecutePower {
/**
* 给定一个double类型的浮点数base和int类型的整数exponent。求base的exponent次方。
* 保证base和exponent不同时为0
*
* @param base double类型的浮点数
* @param exponent int类型的整数
* @return base的exponent次方
*/
public double Power(double base, int exponent) {
if (exponent < 0) {
base = 1 / base;
exponent = Math.abs(exponent);
}
double result = 1;
for (int i = 0; i < exponent; i++) {
result *= base;
}
return result;
}
}
时间复杂度:O(N),需要遍历 exponent 次。N = exponent。
空间复杂度:O(1)
3.2 递归快速幂
package pers.klb.jzoffer.medium;
/**
* @program: JzOffer2021
* @description: 数值的整数次方(递归快速幂)
* @author: Meumax
* @create: 2020-07-12 09:52
**/
public class ExecutePower {
/**
* 给定一个double类型的浮点数base和int类型的整数exponent。求base的exponent次方。
* 保证base和exponent不同时为0
*
* @param base double类型的浮点数
* @param exponent int类型的整数
* @return base的exponent次方
*/
public double Power(double base, int exponent) {
if (exponent < 0) {
base = 1 / base;
exponent = Math.abs(exponent);
}
return doPower(base, exponent);
}
private double doPower(double base, int exponent) {
if (exponent == 0) {
return 1.0;
} else {
int flag = exponent % 2;
if (flag == 0) { // exponent为偶数
double half = doPower(base, exponent / 2);
return half * half;
} else { // exponent为奇数
double half = doPower(base, (exponent - 1) / 2);
return half * half * base;
}
}
}
}
时间复杂度:O(logN),每次规模减少一半
空间复杂度:O(logN),递归栈,因为要记住logN个变量
package pers.klb.jzoffer.medium;
/**
* @program: JzOffer2021
* @description: 数值的整数次方
* @author: Meumax
* @create: 2020-07-12 09:52
**/
public class ExecutePower {
/**
* 给定一个double类型的浮点数base和int类型的整数exponent。求base的exponent次方。
* 保证base和exponent不同时为0
*
* @param base double类型的浮点数
* @param exponent int类型的整数
* @return base的exponent次方
*/
public double Power(double base, int exponent) {
if (exponent < 0) {
base = 1 / base;
exponent = Math.abs(exponent);
}
double x = base; // 第0项的值
double result = 1.0; // 最终结果
int n = exponent; // 指数
// 从低到高遍历 exponent 的每一个二进制位
// n表示遍历到的二进制位
while (n > 0) {
// 看n的第0位是否为1
if ((n & 1) == 1) {
// 该二进制位为1,说明当前项的值有效
result *= x;
}
x *= x; // 更新下一项的值
n >>= 1; // n右移一位,准备处理高一位的二进制位
}
return result;
}
}
时间复杂度:O(logN),因为n的二进制位个数为logN,我们要计算logN个项的值。
空间复杂度:O(1)
4、解题心得
本题没有其他任何限制,如果是笔试,直接调API省事。
本题考查的是如何用最优化的方法解决数值的整数次方求解问题,暴力遍历是都能马上想到,但暴力遍历的时间复杂度为O(N),一般情况下,O(N)的优化思路就是优化成O(logN),再进一步思考,log应该是计算量不断减半,再根据求次方的特性,就能联想到本章的方法二。
数学底子不好的同学是根本无法想到第三种方法,可以当成新知识点记下来,面试的时候写出来是很不错的。