opengl es 绘制贝塞尔曲线 js贝塞尔曲线动态画线

贝塞尔曲线是图形学中非常重要的知识，是绘制曲线以及曲面的基础，在很多地方都有着非常广泛的应用，比如Photoshop里的钢笔工具，字体设计，各种过渡动画等等。本文将记录贝塞尔曲线的原理公式，以及使用Three.js中的贝塞尔曲线API进行简单的心形绘制。

贝塞尔曲线详解

贝塞尔曲线就是在起始点和终止点之间，设置控制点，通过控制点的移动来控制曲线的形状。根据控制点数量的不同，可以将贝塞尔曲线分为一阶曲线、二阶曲线、三阶曲线……等等。

一阶曲线

一阶曲线非常简单，因为没有控制点，所以就是一条从起始点到终止点的线段。

二阶曲线

二阶曲线由起始点、终止点和一个控制点组成。贝塞尔曲线由以下规则形成：对于[0, 1]内任何t，在$b_0b_1$上取一个点$b_0^1$，满足$b_0b_0^1$和$b_0^1b_1$的关系为$t : 1-t$，同样的，在在$b_1b_2$上取一个点$b_1^1$，满足$b_1b_1^1$和$b_1^1b_2$的关系为$t : 1-t$。最后将$b_0^1b_1^1$相连，在$b_0^1b_1^1$上继续取一点满足$b_0^1b_0^2:b_0^2b_1^1=t:1-t$。所有的t所形成的$b_0^2$形成一道曲线，这道曲线就是贝塞尔曲线。对应的点的坐标在向量表示下很容易表示出来：
$\vec{b^1_0}(t)=(1-t)\vec{b_0}+t\vec b_1 \\ \vec{b^1_1}(t)=(1-t)\vec{b_1}+t\vec b_2 \\ \vec{b^2_0}(t)=(1-t)\vec{b_0^1}+t\vec b_1^1 \\ \Rightarrow \vec{b_0^2}(t)=(1-t)^2\vec b_0 + 2t(1-t)\vec{b_1}+t^2\vec b_2$

三阶以及多阶曲线

类似于二阶曲线，三阶以及多阶贝塞尔曲线也是采用同样的方法，不断进行迭代，每一个t确定一个点，最后形成一条曲线。

计算贝塞尔曲线有一个对于任意阶通用的公式：德卡斯特里奥算法 (De Casteljau’s algorithm)，是一种递归的计算贝塞尔曲线的方法：
$\vec b^n(t)=\vec b_0^n(t)=\sum_{j=0}^n\vec b_jB_j^n(t)\text{, where }\vec b_j \text{ is the Bernstein polynomial} \\ \text{Bernstein polynomial: }B^n_t(t)=\tbinom{n}{t}t^i(1-t)^{n-i}$

使用Three.js中的贝塞尔曲线绘制心形

绘制圆形

我们首先可以通过贝塞尔曲线绘制出一个圆形，心形可以在圆形的基础上进行一定的控制点的调整就可以绘制而成。

从上图中可以看出，一个圆形可以被分成四个弧线，每条弧线可以通过一个三阶贝塞尔曲线绘制而成（两个控制点），控制点的位置在geometry - How to create circle with Bézier curves? - Stack Overflow已经有人计算好了，我们可以直接使用（这里的计算也并不是特别复杂，简单的数学知识就可以计算出来）。由此，我们可以通过贝塞尔曲线创建出一个圆的形状：

const x = 0, y = 0;
const radius = 30;
const c = 0.551915024494 * radius;

const heartShape = new THREE.Shape()
    .moveTo(x, y+radius)
    .bezierCurveTo(x+c,y+radius, x+radius, y+c, x+radius, y)
    .bezierCurveTo(x+radius,y-c, x+c, y-radius, x, y-radius)
    .bezierCurveTo(x-c,y-radius, x-radius, y-c, x-radius, y)
    .bezierCurveTo(x-radius,y+c, x-c, y+radius, x, y+radius)

bezierCurveTo()是Three.js中的贝塞尔曲线的API，它接受六个参数，前四个分别是两个控制点的x,y坐标，最后两个是终止点的x,y坐标。这里只需要设定好参数，使用四段贝塞尔曲线一一绘制出来就可以了。

绘制心形

心形其实就是在圆形的基础上移动了三个控制点的位置，将y轴上上方的起始点稍向下移动，以及下方左右两个控制点向上移动，就可以绘制出一个心形，代码以及效果图如下所示。

const x = 0, y = 0;
const radius = 30;
const c = 0.551915024494 * radius;

const heartShape = new THREE.Shape()
    .moveTo(x, y+radius/3)
    .bezierCurveTo(x+c,y+radius, x+radius, y+c, x+radius, y)
    .bezierCurveTo(x+radius,y-c, x+c, y-radius/2, x, y-radius)
    .bezierCurveTo(x-c,y-radius/2, x-radius, y-c, x-radius, y)
    .bezierCurveTo(x-radius,y+c, x-c, y+radius, x, y+radius/3)