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. 逻辑回归

逻辑回归（Logistic Regression）是用于处理因变量为分类变量的回归问题，常见的是二分类或二项分布问题，也可以处理多分类问题，它实际上是属于一种分类方法。

概率p与因变量往往是非线性的，为了解决该类问题，我们引入了logit变换，使得logit(p)与自变量之 间存在线性相关的关系，逻辑回归模型定义如下：

1 #Sigmoid曲线:
2 importmatplotlib.pyplot as plt3 importnumpy as np4
5 defSigmoid(x):6 return 1.0 / (1.0 + np.exp(-x))7
8 x= np.arange(-10, 10, 0.1)9 h = Sigmoid(x) #Sigmoid函数
10 plt.plot(x, h)11 plt.axvline(0.0, color='k') #坐标轴上加一条竖直的线（0位置）
12 plt.axhspan(0.0, 1.0, facecolor='1.0', alpha=1.0, ls='dotted')13 plt.axhline(y=0.5, ls='dotted', color='k') #在y=0.5的地方加上黑色虚线
14 plt.yticks([0.0, 0.5, 1.0]) #y轴标度
15 plt.ylim(-0.1, 1.1) #y轴范围
16 plt.show()

二、鸢尾花分类问题的思路分析

（1）选择使用LogisticRegression分类器，由于Iris数据集涉及到3个目标分类问题，而逻辑回归模型是二分类模型，用于二分类问题。因此，可以将其推广为多项逻辑回归模型（multi-nominal logistic regression model），用于多分类。

（2）根据多项逻辑回归模型，编写代码，输入数据集，训练得到相应参数并作出预测。

（3）对预测出的数据的分类结果和原始数据进行可视化展示。

三、多项逻辑回归模型的原理及推导过程

假设类别Y 的取值集合为 {1,2，...，K}，那么多项逻辑回归模型是：

其似然函数为：

其中，

为模型在输入样本

时，将其判为类别k 的概率；

起到指示函数的作用，当K 等于样本

的标签类别时为1，其余均为0。

对似然函数取对数，然后取负，得到

（简记为：

），最终要训练出的模型参数要使得

的值取得最小。

的推导过程如下：

考虑到过拟合的发生，对

加上一个正则项：

则

可以写成：

对

关于

求梯度，得到：

在上式中，第一项

可以看成是类别k的后验期望值，第二项

视为类别k 的先验期望值，第三项是正则化项，用于缓解过拟合。

接下来使用梯度下降法对参数

进行修正更新即可：

四、实现步骤

4.1 读入数据文件

这里需要注意的是，在datas中取前两列作为特征（为了后期的可视化画图更加直观，故只取前两列特征值向量进行训练）

1 attributes=['SepalLength','SepalWidth','PetalLength','PetalWidth'] #鸢尾花的四个属性名
2
3 datas=[]4 labels=[]5
6 #with open('IRIS_dataset.txt','r') as f:
7 #for line in f:
8 #linedata=line.split(',')
9 #datas.append(linedata[:-1]) #前4列是4个属性的值
10 #labels.append(linedata[-1].replace('\n','')) #最后一列是类别
11
12 #读入数据集的数据：
13 data_file=open('IRIS_dataset.txt','r')14 for line indata_file.readlines():15 #print(line)
16 linedata = line.split(',')17 #datas.append(linedata[:-1]) # 前4列是4个属性的值(误判的样本的个数为：7
18 datas.append(linedata[:-3]) #前2列是2个属性的值(误判的样本的个数为：30
19 labels.append(linedata[-1].replace('\n', '')) #最后一列是类别
20
21 datas=np.array(datas)22 datas=datas.astype(float) #将二维的字符串数组转换成浮点数数组
23 labels=np.array(labels)24 kinds=list(set(labels)) #3个类别的名字列表

4.2编写代码实现LogisticRegression算法

1 #LogisticRegression算法，训练数据，传入参数为数据集（包括特征数据及标签数据），结果返回训练得到的参数 W
2 defLogRegressionAlgorithm(datas,labels):3 kinds = list(set(labels)) #3个类别的名字列表
4 means=datas.mean(axis=0) #各个属性的均值
5 stds=datas.std(axis=0) #各个属性的标准差
6 N,M= datas.shape[0],datas.shape[1]+1 #N是样本数，M是参数向量的维
7 K=3 #k=3是类别数
8
9 data=np.ones((N,M))10 data[:,1:]=(datas-means)/stds #对原始数据进行标准差归一化
11
12 W=np.zeros((K-1,M)) #存储参数矩阵
13 priorEs=np.array([1.0/N*np.sum(data[labels==kinds[i]],axis=0) for i in range(K-1)]) #各个属性的先验期望值
14
15 liklist=[]16 for it in range(1000):17 lik=0 #当前的对数似然函数值
18 for k in range(K-1): #似然函数值的第一部分
19 lik -= np.sum(np.dot(W[k],data[labels==kinds[k]].transpose()))20 lik +=1.0/N *np.sum(np.log(np.sum(np.exp(np.dot(W,data.transpose())),axis=0)+1)) #似然函数的第二部分
21 liklist.append(lik)22
23 wx=np.exp(np.dot(W,data.transpose()))24 probs=np.divide(wx,1+np.sum(wx,axis=0).transpose()) #K-1 *N的矩阵
25 posteriorEs=1.0/N*np.dot(probs,data) #各个属性的后验期望值
26 gradients=posteriorEs - priorEs +1.0/100 *W #梯度，最后一项是高斯项，防止过拟合
27 W -= gradients #对参数进行修正
28 print("输出W为：",W)29 return W

4.3 编写predict_fun（）预测函数

根据训练得到的参数W和数据集，进行预测。输入参数为数据集和由LogisticRegression算法得到的参数W，返回值为预测的值。

1 #根据训练得到的参数W和数据集，进行预测。输入参数为数据集和由LogisticRegression算法得到的参数W，返回值为预测的值
2 defpredict_fun(datas,W):3 N, M = datas.shape[0], datas.shape[1] + 1 #N是样本数，M是参数向量的维
4 K = 3 #k=3是类别数
5 data =np.ones((N, M))6 means = datas.mean(axis=0) #各个属性的均值
7 stds = datas.std(axis=0) #各个属性的标准差
8 data[:, 1:] = (datas - means) / stds #对原始数据进行标准差归一化
9
10 #probM每行三个元素，分别表示data中对应样本被判给三个类别的概率
11 probM =np.ones((N, K))12 print("data.shape:", data.shape)13 print("datas.shape:", datas.shape)14 print("W.shape:", W.shape)15 print("probM.shape:", probM.shape)16 probM[:, :-1] =np.exp(np.dot(data, W.transpose()))17 probM /= np.array([np.sum(probM, axis=1)]).transpose() #得到概率
18
19 predict = np.argmax(probM, axis=1).astype(int) #取最大概率对应的类别
20 print("输出predict为：", predict)21 return predict

4.4绘制图像

（1）确定坐标轴范围，x，y轴分别表示两个特征

1 #1.确定坐标轴范围，x，y轴分别表示两个特征
2 x1_min, x1_max = datas[:, 0].min(), datas[:, 0].max() #第0列的范围
3 x2_min, x2_max = datas[:, 1].min(), datas[:, 1].max() #第1列的范围
4 x1, x2 = np.mgrid[x1_min:x1_max:150j, x2_min:x2_max:150j] #生成网格采样点，横轴为属性x1，纵轴为属性x2
5 grid_test = np.stack((x1.flat, x2.flat), axis=1) #测试点
6 #.flat 函数将两个矩阵都变成两个一维数组，调用stack函数组合成一个二维数组
7 print("grid_test = \n", grid_test)8
9 grid_hat = predict_fun(grid_test,W) #预测分类值
10 grid_hat = grid_hat.reshape(x1.shape) #使之与输入的形状相同
11 #grid_hat本来是一唯的，调用reshape()函数修改形状，将其grid_hat转换为两个特征（长度和宽度）
12 print("grid_hat = \n", grid_hat)13 print("grid_hat.shape: = \n", grid_hat.shape) #(150, 150)

（2）指定默认字体

1 #2.指定默认字体
2 mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']3 mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

（3）绘制图像

1 #3.绘制图像
2 cm_light = mpl.colors.ListedColormap(['#A0FFA0', '#FFA0A0', '#A0A0FF'])3 cm_dark = mpl.colors.ListedColormap(['g', 'r', 'b'])4
5 alpha = 0.5
6
7 plt.pcolormesh(x1, x2, grid_hat, cmap=plt.cm.Paired) #预测值的显示
8 #调用pcolormesh()函数将x1、x2两个网格矩阵和对应的预测结果grid_hat绘制在图片上
9 #可以发现输出为三个颜色区块，分布表示分类的三类区域。cmap=plt.cm.Paired/cmap=cm_light表示绘图样式选择Paired主题
10 #plt.scatter(datas[:, 0], datas[:, 1], c=labels, edgecolors='k', s=50, cmap=cm_dark) # 样本
11 plt.plot(datas[:, 0], datas[:, 1], 'o', alpha=alpha, color='blue', markeredgecolor='k')12 ##绘制散点图
13 plt.scatter(datas[:, 0], datas[:, 1], s=120, facecolors='none', zorder=10) #圈中测试集样本
14 plt.xlabel(u'花萼长度', fontsize=13) #X轴标签
15 plt.ylabel(u'花萼宽度', fontsize=13) #Y轴标签
16 plt.xlim(x1_min, x1_max) #x 轴范围
17 plt.ylim(x2_min, x2_max) #y 轴范围
18 plt.title(u'鸢尾花LogisticRegression二特征分类', fontsize=15)19 #plt.legend(loc=2) # 左上角绘制图标
20 #plt.grid()
21 plt.show()

五、实验结果

（1）运行程序输出的参数：

使用二个特征：

输出W为： [[-0.41462351 1.26263398 0.26536423]

[-1.07260354 -2.44478672 1.96448439]]

输出predict为： [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2]

误判的样本的个数为：28

使用四个特征：

输出W为：

[[-0.09363942 -1.41359443 1.17376524 -2.3116611 -2.20018596]

[ 1.44071982 -0.05960463 -0.31391519 -0.87589944 -1.83255315]]

输出predict为： [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2]

误判的样本的个数为：8

（2）数据可视化结果如下：

六、结果分析与比较

由以上实验结果可以看出，使用了二特征的误判的样本个数为28（样本总数为150），而使用了四个特征的训练结果，误判的样本个数为8，在一定程度上可以解释使用的特征数过少的话，会导致欠拟合的情况发生。

为了后期的可视化画图更加直观，故只取前两列特征值向量进行训练。结果展示如上图所示。