多输出层神经网络 神经网络多维输出

文章目录

• 神经网络与NumPy

• 多维数组
• 矩阵乘法
• 神经网络内积

• 简单神经网络实现

• 符号确认
• 各层间信号传递
• 代码实现小结

• 小结

神经网络与NumPy

为了实现神经网络的前向传播，我们首先来看一下NumPy多维数组的运算。掌握了NumPy多维数组的运算，就可以高效地实现神经网络。

多维数组

多维数组就是“数字的集合”，数字排成一列的集合、排成长方形的集合、排成三维状或者（更加一般化的）N维状的集合都称为多维数组。下面我们就用NumPy来生成多维数组。

1. 一维数组

import numpy as np
A = np.array([1, 2, 3, 4])
print(A)
print(np.ndim(A))
print(A.shape)

# 运行结果
[1 2 3 4]
1
(4,)

数组的维数可以通过np.dim()函数获得。数组的形状可以通过实例变量shape获得，上例中，A是一维数组，由4个元素构成，这里的A.shape的结果是个元组（tuple），二维数组时返回的是元组(4,3)，三维数组时返回的是元组(4,3,2)，…

2. 二维数组

B = np.array([[1,2], [3,4], [5,6]])
print(B)
print(np.ndim(B))
print(B.shape)

# 运行结果
[[1 2]
[3 4]
[5 6]]
2
(3, 2)

这里生成了一个3×2的数组B。3×2的数组表示第一个维度有3个元素，第二个维度有2个元素。另外，第一个维度对应第0维，第二个维度对应第1维（Python的索引从0开始）。二维数组也称为矩阵（matrix）。数组的横向排列称为行（row），纵向排列称为列（column）。

矩阵乘法

下面，我们来介绍矩阵（二维数组）的乘积。比如2×2的矩阵，其乘积可以像下图这样进行计算：

矩阵的乘积是通过左边矩阵的行（横向）和右边矩阵的列（纵向）以对应元素的方式相乘后再求和而得到的。并且，运算的结果保存为新的多维数组的元素。比如，A的第1行和B的第1列的乘积结果是新数组的第1行第1列的元素，A的第2行和B的第1列的结果是新数组的第2行第1列的元素。这个运算在Python中可以用如下代码实现：

A = np.array([[1,2], [3,4]])
B = np.array([[5,6], [7,8]])
C = np.dot(A, B)
print(C)

# 运行结果
[[19, 22],[43, 50]]

这里，A和B都是2×2的矩阵，它们的乘积可以通过NumPy的np.dot()函数计算（乘积也称为点积）。np.dot()接收两个NumPy数组作为参数，并返回数组的乘积。
这里要注意的是，np.dot(A, B) 和np.dot(B, A) 的值可能不一样。和一般的运算（+或*等）不同，矩阵的乘积运算中，操作数A、B的顺序不同，结果也会不同。
我们再来看一个例子：

A = np.array([[1,2,3], [4,5,6]])
print(A.shape)

B = np.array([[1,2], [3,4], [5,6]])
print(B.shape)

C = np.dot(A, B)
print(C)

# 运行结果
(2, 3)
(3, 2)
[[22, 28],[49, 64]]

2×3 的矩阵A和3×2的矩阵B的乘积可按以上方式实现。这里需要注意的是矩阵的形状（shape）。具体地讲，矩阵A的第1维的元素个数（列数）必须和矩阵B的第0维的元素个数（行数）相等。在上面的例子中，矩阵A的形状是2×3，矩阵B的形状是3×2，矩阵A的第1维的元素个数“3”和矩阵B的第0维的元素个数“3”相等。如果这两个值不相等，则无法计算矩阵的乘积。
如果对上面的表述不理解，可以参考下面图片：

图中，3×2的矩阵A和2×4的矩阵B的乘积运算生成了3×4的矩阵C。如图所示，矩阵A和矩阵B的对应维度的元素个数必须保持一致。此外，可以注意到的是，运算结果的矩阵C的形状是由矩阵A的行数和矩阵B的列数构成的。

另外，当有矩阵是一维的时候，比如当A是二维矩阵、B是一维数组时，对应维度的元素个数要保持一致的原则依然成立。代码如下：

A = np.array([[1,2], [3, 4], [5,6]])
print(A.shape)

B = np.array([7,8])
print(B.shape)

C = np.dot(A, B)
print(C)

# 运行结果
(3, 2)
(2,)
[23, 53, 83]

相应示意图如下：

神经网络内积

下面我们使用NumPy矩阵来实现神经网络。这里我们以下图中的简单神经网络为对象。这个神经网络省略了偏置和激活函数，只有权重。

实现该神经网络时，要注意X、W、Y的形状，特别是X和W的对应维度的元素个数是否一致，下面我们用代码来实现：

X = np.array([1, 2])
print(X.shape)

W = np.array([[1, 3, 5], [2, 4, 6]])
print(W.shape)

Y = np.dot(X, W)
print(Y)

# 运行结果
(2,)
(2, 3)
[5 11 17]

如上所示，使用np.dot（多维数组的点积），可以一次性计算出Y 的结果。这意味着，即便Y 的元素个数为100或1000，也可以通过一次运算就计算出结果！如果不使用np.dot，就必须单独计算Y 的每一个元素（或者说必须使用for语句），非常麻烦。因此，通过矩阵的乘积一次性完成计算的技巧，在实现的层面上可以说是非常重要的。

简单神经网络实现

现在我们来进行神经网络的实现。这里我们以下图的3层神经网络为对象，实现从输入到输出的（前向）处理。在代码实现方面，使用上一节介绍的NumPy多维数组。巧妙地使用NumPy数组，可以用很少的代码完成神经网络的前向处理。

符号确认

在介绍神经网络中的处理之前，我们先导入w₁₂⁽¹⁾、a₁⁽¹⁾等符号。
我们先从定义符号开始。如下图所示，只突出显示了从输入层神经元x₂到后一层的神经元的权重a₁⁽¹⁾。

如上图所示，权重和隐藏层的神经元的右上角有一个“(1)”，它表示权重和神经元的层号（即第1 层的权重、第1 层的神经元）。此外，权重的右下角有两个数字，它们是后一层的神经元和前一层的神经元的索引号。比如，w₁₂⁽¹⁾表示前一层的第2个神经元x₂到后一层的第1个神经元a₁⁽¹⁾的权重。权重右下角按照“后一层的索引号、前一层的索引号”的顺序排列。

各层间信号传递

现在看一下从输入层到第1层的第1个神经元的信号传递过程：

上图中增加了表示偏置的神经元“1”。请注意，偏置的右下角的索引号只有一个。这是因为前一层的偏置神经元（神经元“1”）只有一个。为了确认前面的内容，现在用数学式表示。通过加权信号和偏置的和按如下方式进行计算：

$a_{1}^{(1)}=w_{11}^{(1)}x_{1}+w_{12}^{(1)}x_{2}+b_{1}^{(1)}$

此外，如果使用矩阵的乘法运算，则可以将第1层的加权和表示成下面的式子：

$A^{(1)}=XW^{(1)}+B^{(1)}$

其中，A⁽¹⁾、X、B⁽¹⁾、W⁽¹⁾如下所示：

$A^{(1)}=\begin{pmatrix} a_{1}^{(1)}&a_{2}^{(1)}&a_{3}^{(1)} \end{pmatrix}， X=\begin{pmatrix} x_{1}&x_{2} \end{pmatrix}\\ B^{(1)}=\begin{pmatrix} b_{1}^{(1)}&b_{2}^{(1)}&b_{3}^{(1)} \end{pmatrix}， W^{(1)}=\begin{pmatrix} w_{11}^{(1)}&w_{21}^{(1)}&w_{31}^{(1)} \\ w_{12}^{(1)}&w_{22}^{(1)}&w_{32}^{(1)} \end{pmatrix}$

下面我们用NumPy多维数组来实现上式，这里将输入信号、权重、偏置设置成任意值：

X = np.array([1.0, 0.5])
print(X.shape)

W1 = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
print(W1.shape)

B1 = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
print(B1.shape)

A1 = np.dot(X, W1) + B1
print(A1)

#运行结果
(2,)
(2, 3)
(3,)
[0.3, 0.7, 1.1]

这个运算和上一节进行的运算是一样的。W1是2×3的数组，X是元素个数为2的一维数组。这里，W1和X的对应维度的元素个数也保持了一致。接下来，我们观察第1层中激活函数的计算过程。如果把这个计算过程用图来表示：

如上图，隐藏层的加权和（加权信号和偏置的总和）用a表示，被激活函数转换后的信号用z表示。此外，图中h()表示激活函数，这里我们使用的是sigmoid函数。用Python来实现，代码如下所示：

print(A1)

Z1 = sigmoid(A1)
print(Z1)

# 运行结果
[0.3, 0.7, 1.1]
[0.57444252, 0.66818777, 0.75026011]

这个sigmoid()函数就是之前定义的那个函数。它会接收NumPy数组，并返回元素个数相同的NumPy数组。下面，我们来实现第1 层到第2 层的信号传递：

print(Z1.shape)

W2 = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
print(W2.shape) 

B2 = np.array([0.1, 0.2])
print(B2.shape)

A2 = np.dot(Z1, W2) + B2
Z2 = sigmoid(A2)

# 运行结果
(3,)
(3, 2)
(2,)

除了第1层的输出（Z1）变成了第2 层的输入这一点以外，这个实现和刚才的代码完全相同。由此可知，通过使用NumPy数组，可以将层到层的信号传递过程简单地写出来。
最后是第2层到输出层的信号传递：

输出层的实现也和之前的实现基本相同。不过，最后的激活函数和之前的隐藏层有所不同：

def identity_function(x):
	return x

W3 = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
B3 = np.array([0.1, 0.2])

A3 = np.dot(Z2, W3) + B3
Y = identity_function(A3) # 或者Y = A3

这里我们定义了identity_function()函数（也称为“恒等函数”），并将其作为输出层的激活函数。恒等函数会将输入按原样输出，因此，这个例子中没有必要特意定义identity_function()。这里这样实现只是为了和之前的流程保持统一。另外，上图输出层的激活函数用σ() 表示，不同于隐藏层的激活函数h()。
输出层所用的激活函数，要根据求解问题的性质决定。一般地，回归问题可以使用恒等函数，二元分类问题可以使用sigmoid 函数，多元分类问题可以使用softmax 函数。

代码实现小结

至此，我们已经介绍完了3层神经网络的实现。现在我们把之前的代码实现全部整理一下。这里，我们按照神经网络的实现惯例，只把权重记为大写字母W1，其他的（偏置或中间结果等）都用小写字母表示：

def init_network():
	network = {}
	network['W1'] = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
	network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
	network['W2'] = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
	network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
	network['W3'] = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
	network['b3'] = np.array([0.1, 0.2])
	return network
	
def forward(network, x):
	W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
	b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']
	a1 = np.dot(x, W1) + b1
	z1 = sigmoid(a1)
	a2 = np.dot(z1, W2) + b2
	z2 = sigmoid(a2)
	a3 = np.dot(z2, W3) + b3
	y = identity_function(a3)
	return y

network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y)

# 运行结果
[0.31682708 0.69627909]

这里定义了init_network() 和forward() 函数。init_network()函数会进行权重和偏置的初始化，并将它们保存在字典变量network中。这个字典变量network中保存了每一层所需的参数（权重和偏置）。forward()函数中则封装了将输入信号转换为输出信号的处理过程。
另外，这里出现了forward（前向）一词，它表示的是从输入到输出方向的传递处理。后面在进行神经网络的训练时，我们将介绍后向（backward，从输出到输入方向）的处理。
至此，神经网络的前向处理的实现就完成了。通过巧妙地使用NumPy多维数组，我们高效地实现了神经网络。

小结

• NumPy可以生成一维、二维及多维数组
• NumPy可以对多维数组运算，如矩阵乘法等
• 矩阵乘法实现神经网络内积运算
• 通过巧妙地使用NumPy多维数组及激活函数，可以高效地实现神经网络。