1 广义逆的背景
在实际问题中,如数据处理、多元分析、最优化理论、现代控制理论和网络理论中,由于实验条件那个多种因素,所产生的方程组往往是不相容的方程,即无解方程。此时,我们不能求得实线性方程组的解,而只能求得近似解,即最小二乘解,此时最小。
类似的,对于复数域C上的线性方程组则要求
为最小,此时是复数线性方程的最小二乘解。
同样,若方程有解,且在有无穷多解时,往往也需要求解向量
中,满足为最小的解,这样的解叫做线性方程组的最小二乘解。
2 广义逆的基本理论
Moore和Penrose分别发表了光宇广义逆的矩阵理论,所提及的广义逆定义如下:
设A是m×n矩阵,如果一个n×m的矩阵G满足下列4条,
(1)
(2)
(3)
(4)
则称G为Moore-Penrose广义逆,简记为
可以证明,对于任意复矩阵A,广义逆一定存在且唯一。
现在一般对广义逆的提法:任意满足4个方程中的某条都可以成为矩阵的广义逆,因此广义逆存在各种形式,共有
种类型。
比较常见的广义逆有以下4种:
- 只满足(1)方程的广义逆,称为A的{1}-广义逆或者减号逆,记作
- 满足上面(1)(3)方程的广义逆,称为{1,3}-广义逆或者最小二乘逆,记作
- 满足上面条件(1)(4)方程的广义逆,称为{1,4}-广义逆或者极小范数逆,记作
- 同时满足方程(1)-(4)的广义逆,称为Moore-Penrose广义逆或者A的加号逆,记作
3 广义逆的求法和应用
思考(Thinking):
- 考虑线性方程组的解,如果A为n阶可逆矩阵,则方程组有唯一解
- 若则线性方程组有无穷多解,能否找到一个n阶矩阵G,使解也能表示成的形式?
- 若Am×n不是方阵,且AX=b有解,能否找到一个矩阵G,使得X=Gb?
- 若AX=b无解,能否找到一个矩阵G,是X=Gb为比较满意的近似解?
对不同的广义逆的结构,涉及到较多的定理和推论,有兴趣的可以自行查找相关资料,本文不再详细介绍。
此处只对M-P矩阵进行讨论。
定理:设A是m×n的矩阵,则其M-P广义逆矩阵存在且唯一,也就是说满足上述所说的4个方程。
证明:
存在性
设
这里U、V各为m阶、n阶酉矩阵,直接验证满足M-P方程(1)-(4)。
唯一性
设G1、G2都是矩阵A的M-P广义逆矩阵,那么
同理,
所以,G1=G2。
推论
设A是m×n矩阵,其满秩分解为其中B是m×r矩阵,C是r×n矩阵,r(A)=r(B)=r©=r,则
特别地,
此处不再罗列其他的广义逆和求解的推导过程。
4 广义逆求解例子
- 已知
求A^+.
解: - 已知
求A^+.
解:
更新:
补充使用Matlab计算案例中广义逆的过程和结果: