假设我有一个超平面集合 H，其对应有很过的H(x1,x2,…,xn)。令他们最小的break point k=2。
那么，当数据集的个数N=1时，every mH(N)=2
当N=2时，every mH(N)最大为3，即都小于4
当N=3时，我们想知道此时mH(N)可取的最大值。
首先由于2最小的break point，则3也是break point。那么N=3时，有mH(N)<23，那最大为多少呢？
假设 三个点的mH(N)为1，就形如
，很显然任意两个点都不可能的mH(N)=4,所以三个点的mH(N)为1满足条件。
同理假设 三个点的mH(N)为2，就形如
，很显然任意两个点都不可能的mH(N)=4,所以三个点的mH(N)为2满足条件。假设 三个点的mH(N)为3，就形如
，很显然任意两个点都不可能的mH(N)=4,所以三个点的mH(N)为3满足条件。假设 三个点的mH(N)为4，就形如
，很显然当取x2,x3时，该两点的的mH(N)=4,不满足最小break point 为2，所以这种情况不满足条件。但是，当 三个点的mH(N)为4，且形如
，很显然任意两个点都不可能的mH(N)=4,所以三个点的mH(N)为4满足条件。当 三个点的mH(N)为5，且形如
或者
或者
，很显然加深颜色的两个点的mH(N)=4,所以三个点的mH(N)为5满足条件。
终上所述，当N=3时，我们想知道此时mH(N)可取的最大值为4，才能满足最小的break point 为2
发现，对于最小break point 为2 时，
N=1时，every mH(N)=21
N=2时，everymH(N)最大为3，接近22
N=3时，every mH(N) 最大为4，远小于23
那么是否说明，当N增大，mH(N)增加的速度远小于2N
不用注意 H的表达方式
我们定义bounding function B（N，K），表示当break point =k时，mH(N)的最大可能取值。其实上面讨论的就是B（1，2），B（2,2），B（3,2）的值。
我们发现B（N，K）的值与H的细节，函数形式无关，如下图
现在，我们来探讨关于B（N，K）的值
斜对角线上，由于N 小于k,则填的值一定为2N
当k=1时，则mH(N)<21,则填的值一定为1
对角线上的值填为2N−1,这我不是很清楚为什么。。。
那剩下的那部分的值为多少呢？？？
假设我们要求B（4,3）的值
我们来看看，B（4,3）的与B(3, ×)的值有什么关系。
我们用上面同样的方法求出B（4,3）具体的形式为
则B（4,3）的值为11
我们将上面的图形适当的移一下位置，为
橘色的表示“成双成对”，即他们x1,x2,x3两两相同，只是x4正好相反。而紫色的部分表示“形单影只”，完全不一样
则可把上图标记为
则有
对于B（4,3）表示N=4，k=3
我们就把x4去掉，看看满不满足k最小为3
要想k最小值为3，及要求
.
即
然而对于仅有α
如果x1,x2,x3有任意两个可以“shatter”2 input，假设是x2,x3。那么x2,x3,x4就一定能够”shatter” 3 input。因为对于橘色部分，x4可以正好相反。然而要求B（4,3）不能”shatter” 3 input。所以为了让不能shatter 3 input ,那么就不能让 α shatter 2 input .
所以有
终上所述，可以总结为
把上面的公式进行推广
即我们求出了B（N，K）的上限，也就是mk(N)上限的上限
我们根据数学归纳法可以得到结论为
表达式的最高次幂为NK+1我们的原始目的是想证明 机器学习是否可行。上上一次笔记讲解了机器学习再H是有限且数据很大的情况下是可行的
，而上一次和这一次笔记就是用来证明H再无限的情况下是可行的。那么这的思想就是我们能否用有限的值（mH(N)）来代替。而这一次笔记的前面就是讲解 mH(N)的上限的上限。
下面就要证明 mH(N)是可替换的。
证明得到的最终结果为
（这好像是VC维公式）
只要我们有一个break point，那么就可以怎么再N足够大的情况下，满足Ein约等于Eout
