一、概念

三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆（一般情况下，n边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆。），且内切圆圆心定在三角形内部。

在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。

内切圆的半径为r=2S/C=S/p，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长，p表示三角形的半周长。

面积法；1/2lr(l周长）用于任意三角形

二、推论

以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形A'B'C'是ABC的内接三角形之一。

名称

确定方法

性质

外心（三角形外接圆的圆心）

三角形三边中垂线的交点

到三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形内部

内心（三角形内切圆的圆心）

三角形三条角平分线的交点

到三边的距离相等 内心在三角形内部

ABC的内切圆就是A'B'C'的外接圆。而A'A、B'B和C'C三线交于一点，它们的交点就是勒莫恩点（Lemoine point）（或称热尔岗点（Gergonne point）），或类似重心，即三条类似中线的交点。内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点（见九点圆）。

若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。

三角形的外接圆半径R、内切圆半径r以及内外心间距OI之间有如下关系：
r2+OI2= (R-r)^2

在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：

1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。

2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。

1、r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）
2、r=ab/ (a+b+c)