标题：使用MATLAB神经网络预测曲线
**摘要：**神经网络是一种强大的机器学习工具，能够学习和模拟人类大脑的工作方式。本文将介绍如何利用MATLAB中的神经网络工具箱来预测曲线。我们将使用一个简单的示例来演示神经网络如何学习输入与输出之间的关系，并通过预测来生成准确的曲线。
引言
神经网络是一种受到生物神经系统启发的机器学习算法。它由多个神经元组成，每个神经元都与其他神经元相连。神经网络通过学习大量数据来发现输入和输出之间的关系，从而具备预测和模拟的能力。
MATLAB是一种广泛使用的科学计算软件，具有强大的工具箱，包括神经网络工具箱，可以帮助开发者轻松实现神经网络应用。神经网络工具箱提供了一系列函数和工具，用于创建、训练和应用神经网络。
在这篇文章中，我们将展示如何使用MATLAB神经网络工具箱来预测曲线。我们将使用一个简单的示例来说明神经网络如何学习输入与输出之间的关系。
问题描述
我们有一个由一组输入和对应的输出组成的数据集。我们希望通过这些数据来训练一个神经网络，以便根据给定的输入预测输出。
我们的数据集如下：
| 输入 (x) | 输出 (y) |
|---|---|
| 1 | 0.8415 |
| 2 | 0.9093 |
| 3 | 0.1411 |
| 4 | -0.7568 |
| 5 | -0.9589 |
我们的目标是通过训练神经网络来找到输入和输出之间的数学关系，以便根据给定的输入预测输出。
神经网络模型
我们将使用一个简单的前馈神经网络来解决这个问题。该网络由一个输入层、一个隐藏层和一个输出层组成。输入层接收输入数据，隐藏层执行一些计算，并将结果传递给输出层。
在MATLAB中，我们可以使用feedforwardnet函数来创建一个前馈神经网络模型。以下是创建网络模型的代码示例：
net = feedforwardnet(hiddenSizes);
其中，hiddenSizes是一个包含隐藏层每个神经元数量的向量。例如，如果我们希望隐藏层有5个神经元，可以使用以下代码创建网络模型：
hiddenSizes = [5];
net = feedforwardnet(hiddenSizes);
训练神经网络
在创建神经网络模型后，我们需要使用训练数据来训练网络，以便找到输入和输出之间的关系。在MATLAB中，我们可以使用train函数来训练神经网络。
以下是训练神经网络的代码示例：
net = train(net, inputs, targets);
其中，inputs是一个包含所有训练样本输入的矩阵，每行代表一个训练样本的输入；targets是一个包含所有训练样本输出的矩阵，每行代表一个训练样本的输出。
训练完成后，我们可以使用net来进行预测。以下是预测的代码示例：
outputs = net(inputs);
结果分析
在完成训练和预测后，我们可以比较预测结果和真实输出，以评估神经网络的性能。
以下是绘制预测曲线的代码示例：
plot(inputs, targets, 'o', inputs, outputs, 'x');
legend('真实输出', '预测输出');
该代码将使用真实输出和预测
