python实现扩展卡尔曼滤波

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mob64ca12d36217 2024-05-13 04:11:27 ©著作权

文章标签 卡尔曼滤波线性系统 Python 文章分类 Python 后端开发

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Python实现扩展卡尔曼滤波

什么是卡尔曼滤波

卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的数学方法，其通过结合系统动态方程和测量数据，能够对系统状态进行最优估计。卡尔曼滤波分为标准卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波两种。

标准卡尔曼滤波适用于线性动态系统和线性观测模型，而扩展卡尔曼滤波则可以处理非线性系统和非线性观测模型。

在实际应用中，很多系统都是非线性的，因此扩展卡尔曼滤波更为常见和实用。

扩展卡尔曼滤波的实现

在Python中，我们可以使用NumPy库来实现扩展卡尔曼滤波。下面是一个简单的示例，演示如何使用扩展卡尔曼滤波来估计一个非线性系统的状态。

首先，我们需要定义系统动态方程和观测方程。在这个示例中，我们考虑一个带有高斯噪声的非线性系统：

系统动态方程：$x_{k+1} = \frac{x_k}{2} + 25\frac{x_k}{1+x_k^2} + 8\cos(1.2k) + w_k$

观测方程：$y_k = \frac{x_k^2}{20} + v_k$

其中 $w_k$ 和 $v_k$ 是高斯噪声。

接下来，我们可以实现扩展卡尔曼滤波算法。代码如下：

import numpy as np

# System dynamics function
def f(x):
    return x/2 + 25*x/(1+x**2) + 8*np.cos(1.2)

# Observation function
def h(x):
    return x**2 / 20

# Extended Kalman Filter
def extended_kalman_filter(x0, P0, Q, R, y, n_iter):
    x = x0
    P = P0
    for _ in range(n_iter):
        # Prediction step
        x = f(x)
        F = np.array([[1 + 25*(1-x[0]**2)/(1+x[0]**2)**2]])
        P = F.dot(P).dot(F.T) + Q

        # Update step
        H = np.array([[x[0] / 10]])
        K = P.dot(H.T).dot(np.linalg.inv(H.dot(P).dot(H.T) + R))
        x = x + K.dot(y - h(x))
        P = (np.eye(1) - K.dot(H)).dot(P)

    return x, P

# Initial state estimate and covariance
x0 = np.array([0])
P0 = np.array([[1]])

# Process noise covariance
Q = np.array([[0.1]])

# Measurement noise covariance
R = np.array([[0.1]])

# Generate synthetic data
np.random.seed(0)
true_x = np.zeros((100,))
obs_y = np.zeros((100,))
for k in range(100):
    true_x[k] = f(true_x[k-1]) + np.random.normal(0, Q[0, 0])
    obs_y[k] = h(true_x[k]) + np.random.normal(0, R[0, 0])

# Run extended Kalman filter
est_x, est_P = extended_kalman_filter(x0, P0, Q, R, obs_y, 100)

print("Estimated state:", est_x)