建堆的过程,看起来外面一层循环O(n),里面是个logn的调整函数,时间复杂度貌似是nlogn的,但是仔细分析,其实质是O(n)的。

证明如下:

首先,对于高度为h的完全二叉树,其第i层的元素个数为2^(i-1),对于堆的每一层,调整的深度都不一样,每层的元素的调整深度小于等于h-i,假设每层调整的深度是h-i,欲构建的堆是个完全二叉树,那么对于每层来说:

最后一层不用调整;

倒数第二层的消耗是:2^(h-1)*1;

倒数第三层的消耗是:2^(h-2)*2;

。。。。。。

第一层的消耗是:2^(h-h)*(h-1);

加起来总消耗是:S=2^(h-1)*1+2^(h-2)*2+。。。+h;

2S=2^h*1+2^(h-1)*2+。。。+2*h;

S=2^h+2^(h-1)+2^(h-2)+。。。+2^1-h;

S=2^h+2^(h-1)+2^(h-2)+。。。+2^1+2^0-h-1;

S=2^(h+1)-2-h;

h=logn;

代入得:S=2*n-2-logn;

故堆排序的建堆过程是O(n)的。