重要性采样python

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mob649e8156b567 2024-06-25 04:30:24 ©著作权

文章标签 正态分布 Python 权重 文章分类 Python 后端开发

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重要性采样在Python中的应用

在机器学习和统计学中，重要性采样（Importance Sampling）是一种用于估计难以直接抽样的概率分布的技术。通过在易抽样的分布上进行抽样，然后通过引入权重来调整样本的贡献，从而得到对目标分布的估计。重要性采样在很多领域都有重要的应用，比如概率推断、贝叶斯统计等。

在本文中，我们将介绍重要性采样的原理，并通过Python代码示例演示如何实现重要性采样。

重要性采样原理

重要性采样的核心思想是利用一个易抽样的分布来估计一个难以抽样的目标分布。假设我们要估计目标分布的期望值，但是直接从目标分布中抽样困难，我们可以选择一个易抽样的提议分布来抽样。然后通过引入权重来调整每个样本的贡献，从而得到对目标分布的估计。

具体来说，假设我们要估计目标分布 $p(x)$ 的期望值 $\mathbb{E}[f(x)]$，其中 $f(x)$ 是一个函数。我们可以选择一个提议分布 $q(x)$ 来抽样，得到样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$。然后根据重要性采样的权重公式，计算每个样本的权重：

$$ w_i = \frac{p(x_i)}{q(x_i)} $$

最终，我们可以通过加权平均的方式来估计目标分布的期望值：

$$ \hat{\mathbb{E}}[f(x)] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot f(x_i) $$

重要性采样的Python实现

下面我们将通过一个简单的例子来展示如何在Python中实现重要性采样。假设我们要估计一个正态分布的期望值，但是我们只能从均匀分布中抽样。我们可以使用重要性采样来解决这个问题。

import numpy as np

# 目标分布：正态分布 N(0, 1)
def target_distribution(x):
    return np.exp(-0.5 * x**2) / np.sqrt(2 * np.pi)

# 提议分布：均匀分布 U(-5, 5)
def proposal_distribution(x):
    return 0.1

# 重要性采样
def importance_sampling(n):
    samples = np.random.uniform(-5, 5, n)
    weights = target_distribution(samples) / proposal_distribution(samples)
    estimate = np.mean(weights * samples)
    return estimate

# 估计正态分布的期望值
estimate = importance_sampling(10000)
print("Estimated mean of N(0, 1):", estimate)

在上面的代码中，我们定义了目标分布为标准正态分布 $N(0, 1)$，提议分布为均匀分布 $U(-5, 5)$。然后通过重要性采样来估计正态分布的期望值。最后输出估计值。

关系图

下面是重要性采样的关系图：

erDiagram
          TARGET ||--o|> PROPOSAL : USES
          TARGET {
            string Name
            string Distribution
          }
          PROPOSAL {
            string Name
            string Distribution
          }