前面讨论的查找都是内查询算法,被查询的数据都在内存。当查询的数据放在外存,用平衡二叉树作磁盘文件的索引组织时,若以结点为内外存交换的单位,则找到需要的关键字之前,平均要进行lgn次磁盘读操作,而磁盘、光盘的读写时间要比随机存取的内存代价大得多。其二,外存的存取是以“页”为单位的,一页的大小通常是1024字节或2048字节。

 针对上述特点,1972年R.Bayer和E.M.Cright提出了一种B-树的多路平衡查找树,以适合磁盘等直接存取设备上组织动态查找表。B-树上算法的执行时间主要由读、写磁盘的次数来决定,故一次I/O操作应读写尽可能多的信息。因此B-树的结点规模一般以一个磁盘页为单位。一个结点包含的关键字及其孩子个数取决于磁盘页的大小。

一、基本概念

B-树又称为多路平衡查找树。

         一棵度为m的B-树称为m阶B_树。一个结点有k个孩子时,必有k-1个关键字才能将子树中所有关键字划分为k个子集。B-树中所有结点的孩子结点最大值称为B-树的阶,通常用m表示。从查找效率考虑,一般要求m≥3。一棵m阶的B-树或者是一棵空树,或者是满足下列要求的m叉树:

(1)根结点或者为叶子,或者至少有两棵子树,至多有m棵子树。

(2)除根结点外,所有非终端结点至少有ceil(m/2)棵子树,至多有m棵子树。

(3)所有叶子结点都在树的同一层上。

(4)每个结点的结构为:

       (n,A0,K1,A1,K2,A2,…  ,Kn,An)

其中,Ki(1≤i≤n)为关键字,且Ki<Ki+1(1≤i≤n-1)。

        Ai(0≤i≤n)为指向子树根结点的指针。且Ai所指子树所有结点中的关键字均小于Ki+1。An所指子树中所有结点的关键字均大于Kn。

n为结点中关键字的个数,满足ceil(m/2)-1≤n≤m-1。

        比如,一棵3阶B-树,m=3。它满足: 

(1)每个结点的孩子个数小于等于3。 

(2)除根结点外,其他结点至少有=2个孩子。 

(3)根结点有两个孩子结点。 

(4)除根结点外的所有结点的n大于等于=1,小于等于2。 

(5)所有叶结点都在同一层上。
  

二、B-树查找的算法思想

1、B-树的查找

B-树的查找过程:根据给定值查找结点和在结点的关键字中进行查找交叉进行。首先从根结点开始重复如下过程:

       若比结点的第一个关键字小,则查找在该结点第一个指针指向的结点进行;若等于结点中某个关键字,则查找成功;若在两个关键字之间,则查找在它们之间的指针指向的结点进行;若比该结点所有关键字大,则查找在该结点最后一个指针指向的结点进行;若查找已经到达某个叶结点,则说明给定值对应的数据记录不存在,查找失败。

2.  树的插入

插入的过程分两步完成:

   (1)利用前述的B-树的查找算法查找关键字的插入位置。若找到,则说明该关键字已经存在,直接返回。否则查找操作必失败于某个最低层的非终端结点上。

   (2)判断该结点是否还有空位置。即判断该结点的关键字总数是否满足n<=m-1。若满足,则说明该结点还有空位置,直接把关键字k插入到该结点的合适位置上。若不满足,说明该结点己没有空位置,需要把结点分裂成两个。

分裂的方法是:生成一新结点。把原结点上的关键字和k按升序排序后,从中间位置把关键字(不包括中间位置的关键字)分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中,右部分所含关键字放在新结点中,中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过(m-1),则要再分裂,再往上插。直至这个过程传到根结点为止。



3、B-树的删除

在B-树上删除关键字k的过程分两步完成:

   (1)利用前述的B-树的查找算法找出该关键字所在的结点。然后根据 k所在结点是否为叶子结点有不同的处理方法。

   (2)若该结点为非叶结点,且被删关键字为该结点中第i个关键字key[i],则可从指针son[i]所指的子树中找出最小关键字Y,代替key[i]的位置,然后在叶结点中删去Y。

因此,把在非叶结点删除关键字k的问题就变成了删除叶子结点中的关键字的问题了。

在B-树叶结点上删除一个关键字的方法是

首先将要删除的关键字k直接从该叶子结点中删除。然后根据不同情况分别作相应的处理,共有三种可能情况:

(1)如果被删关键字所在结点的原关键字个数n>=ceil(m/2),说明删去该关键字后该结点仍满足B-树的定义。这种情况最为简单,只需从该结点中直接删去关键字即可。

(2)如果被删关键字所在结点的关键字个数n等于ceil(m/2)-1,说明删去该关键字后该结点将不满足B-树的定义,需要调整。

调整过程为:如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右(左)兄弟结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1。则可将右(左)兄弟结点中最小(大)关键字上移至双亲结点。而将双亲结点中小(大)于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

(3)如果左右兄弟结点中没有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右(左)兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。这种情况比较复杂。需把要删除关键字的结点与其左(或右)兄弟结点以及双亲结点中分割二者的关键字合并成一个结点,即在删除关键字后,该结点中剩余的关键字加指针,加上双亲结点中的关键字Ki一起,合并到Ai(是双亲结点指向该删除关键字结点的左(右)兄弟结点的指针)所指的兄弟结点中去。如果因此使双亲结点中关键字个数小于ceil(m/2)-1,则对此双亲结点做同样处理。以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。

总之,设所删关键字为非终端结点中的Ki,则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y代替Ki,然后在相应结点中删除Y。对任意关键字的删除都可以转化为对最下层关键字的删除。


如图示:

a、被删关键字Ki所在结点的关键字数目不小于ceil(m/2),则只需从结点中删除Ki和相应指针Ai,树的其它部分不变。


b、被删关键字Ki所在结点的关键字数目等于ceil(m/2)-1,则需调整。调整过程如上面所述。


c、被删关键字Ki所在结点和其相邻兄弟结点中的的关键字数目均等于ceil(m/2)-1,假设该结点有右兄弟,且其右兄弟结点地址由其双亲结点指针Ai所指。则在删除关键字之后,它所在结点的剩余关键字和指针,加上双亲结点中的关键字Ki一起,合并到Ai所指兄弟结点中(若无右兄弟,则合并到左兄弟结点中)。如果因此使双亲结点中的关键字数目少于ceil(m/2)-1,则依次类推。


三、B-树的C语言描述

1、存储结构


2、插入


3、查找


四、B-树的C语言实现

五、复杂度分析

#include "stdio.h" 

 #include "stdlib.h" 

 #include "math.h" 

 #define OK 1 

 #define ERROR -1 

 #define m 3 //3阶树 

 #define N 16 //数据元素个数 

 #define MAX 5 //字符串最大长度+1 

 typedef int KeyType; 

 struct Others  //记录的其它部分 

 { 

 char info[MAX]; 

 }; 

 struct Record 

 { 

 KeyType key; //关键字 

 Others others; //其它部分 

 }; 

 typedef struct BTNode 

 { 

 int keynum; //结点中关键字个数 

 BTNode *parent;//指向双亲节点 

    struct Node  //结点向量类型 

    { 

    KeyType key; //关键字向量 

    BTNode *ptr;//子树指针向量 

    Record *recptr; //记录向量指针 

    }node[m+1]; //key,recptr的0号单元未用 

 }BTNode,*BTree; 

 struct Result //B树的查找结果类型 

 { 

 BTNode *pt; //指向找到的结点 

 int i; //在节点中关键字序号,1...m 

 int tag; //1表示查找成功,0表示查找失败。 

 }; 


 int InitDSTable(BTree &DT) 

 { 

 DT=NULL; 

 return OK; 

 }//InitDSTable 


 void DestroyDSTable(BTree &DT) 

 { 

 int i; 

 if(DT) //非空树 

     { 

      for(i=0;i<=DT->keynum;i++) 

          DestroyDSTable(DT->node[i].ptr); 

      free(DT); 

      DT=NULL; 

     }//if 

 }//DestroyDSTable 


 int Search(BTree p,KeyType K) 

 {//在p->node[1...keytype].key中查找i,使得p->node[i].key<=K< 

     //p->node[i+1].key 

     int i=0,j; 

     for(j=1;j<=p->keynum;j++) 

         if(p->node[j].key<=K) 

             i=j; 

     return i; 

 }//Search 


 void Insert(BTree &q,int i,Record *r,BTree ap) 

 {//将r->key、r和ap分别插入到q->key[i+1]、 

     //q->recptr[              i+1]和q->ptr[i+1]中 

     int j; 

     for(j=q->keynum;j>i;j--) //空出q->node[i+1] 

      q->node[j+1]=q->node[j]; 

     q->node[i+1].key=r->key; 

     q->node[i+1].ptr=ap; //前加入的结点,还没有儿子结点 

     q->node[i+1].recptr=r; 

     q->keynum++; 

 }//Insert 


 void NewRoot(BTree &T,Record *r,BTree ap) 

 {// 生成含信息(T,r,ap)的新的根结点*T,原T和ap为子树指针 

 BTree p; 

 p=(BTree)malloc(sizeof(BTNode)); 

 p->node[0].ptr=T; 

 T=p; 

 if(T->node[0].ptr) 

     T->node[0].ptr->parent=T; 

 T->parent=NULL; 

 T->keynum=1; 

 T->node[1].key=r->key; 

 T->node[1].recptr=r; 

 T->node[1].ptr=ap; 

 if(T->node[1].ptr) 

     T->node[1].ptr->parent=T; 

 }//NewRoot 


 void split(BTree &q,BTree &ap) 

 {// 将结点q分裂成两个结点,前一半保留,后一半移入新生结点ap 

 int i,s=(m+1)/2; 

 ap=(BTree)malloc(sizeof(BTNode));//生成新结点ap 

 ap->node[0].ptr=q->node[s].ptr;//原来结点中间位置关键字相应指针指向的子树放到 

                                //新生成结点的0棵子树中去 

 for(i=s+1;i<=m;i++) //后一半移入ap 

    { 

    ap->node[i-s]=q->node[i]; 

    if(ap->node[i-s].ptr) 

        ap->node[i-s].ptr->parent=ap; 

    }//for 

    ap->keynum=m-s; 

    ap->parent=q->parent; 

    q->keynum=s-1; // q的前一半保留,修改keynum 

 }//split 


 void InsertBTree(BTree &T,Record *r,BTree q,int i) 

 {//在m阶B树T上结点*q的key[i]与key[i+1]之间插入关键字K的指针r。若引起 

    // 结点过大,则沿双亲链进行必要的结点分裂调整,使T仍是m阶B树。 

 BTree ap=NULL; 

 int finished=false; 

 int s; 

 Record *rx; 

 rx=r; 

 while(q&&!finished) 

    { 

     Insert(q,i,rx,ap);//将r->key、r和ap分别插入到q->key[i+1]、 

                       //q->recptr[i+1]和q->ptr[i+1]中 

     if(q->keynum<m) 

         finished=true; 

     else 

       {//分裂结点*q 

       s=(m+1)/2; 

       rx=q->node[s].recptr; 

       split(q,ap);//将q->key[s+1..m],q->ptr[s..m]和q->recptr[s+1..m] 

                   //移入新结点*ap 

       q=q->parent; 

       if(q) 

           i=Search(q,rx->key);//在双亲结点*q中查找rx->key的插入位置 

       }//else 

    }//while 

 if(!finished) //T是空树(参数q初值为NULL)或根结点已分裂为 

               //结点*q和*ap 

 NewRoot(T,rx,ap);     

 }//InsertBTree 


 Result SearchBTree(BTree T,KeyType K) 

 {// 在m阶B树T上查找关键字K,返回结果(pt,i,tag)。若查找成功,则特征值 

 // tag=1,指针pt所指结点中第i个关键字等于K;否则特征值tag=0,等于K的 

 // 关键字应插入在指针Pt所指结点中第i和第i+1个关键字之间。 

 BTree p=T,q=NULL; //初始化,p指向待查结点,q指向p的双亲 

 int found=false; 

 int i=0; 

 Result r; 

 while(p&&!found) 

    { 

    i=Search(p,K);//p->node[i].key≤K<p->node[i+1].key 

    if(i>0&&p->node[i].key==K) 

        found=true; 

    else 

      { 

      q=p; 

      p=p->node[i].ptr;//在子树中继续查找 

      }//else 

     }//while 

    r.i=i; 

    if(found) 

      { 

       r.pt=p; 

       r.tag=1; 

      }//if 

    else 

       { 

        r.pt=q; 

        r.tag=0; 

       }//else 

     return r; 

 }//SearchBTree 


 void print(BTNode c,int i) // TraverseDSTable()调用的函数 

  { 

    printf("(%d,%s)",c.node[i].key,c.node[i].recptr->others.info); 

  }//print 

 void TraverseDSTable(BTree DT,void(*Visit)(BTNode,int)) 

 {// 初始条件: 动态查找表DT存在,Visit是对结点操作的应用函数 

 // 操作结果: 按关键字的顺序对DT的每个结点调用函数Visit()一次且至多一次 

 int i; 

 if(DT) //非空树 

     { 

       if(DT->node[0].ptr) // 有第0棵子树 

          TraverseDSTable(DT->node[0].ptr,Visit); 

       for(i=1;i<=DT->keynum;i++) 

         { 

          Visit(*DT,i); 

          if(DT->node[i].ptr) // 有第i棵子树 

          TraverseDSTable(DT->node[i].ptr,Visit); 

         }//for 

     }//if 

 }//TraverseDSTable 


 void InputBR(BTree &t,Record r[]) 

 { 

 Result s;     

 for(int i=0;i<N;i++) 

    { 

      s=SearchBTree(t,r[i].key); 

      if(!s.tag) 

        InsertBTree(t,&r[i],s.pt,s.i); 

    } 

 }//InputBR 

 void UserSearch(BTree t) 

 { 

 int i; 

 Result s; 

 printf("\n请输入待查找记录的关键字: "); 

 scanf("%d",&i); 

 s=SearchBTree(t,i); 

 if(s.tag) 

 print(*(s.pt),s.i); 

 else 

 printf("没找到"); 

 printf("\n"); 

 }//UserSearch 

 void DeleteIt(BTree t,BTNode *dnode,int id) 

 { 

 if(dnode->keynum>=ceil(m/2)) 

    { 

     dnode->keynum--; 

     dnode->node[id].ptr=NULL; 

    }//if被删关键字Ki所在结点的关键字数目不小于ceil(m/2),则只需从结点中删除Ki和相应指针Ai,树的其它部分不变。 

 else if((dnode->keynum==(ceil(m/2)-1))&&((id+1)<(m-1))&&dnode->parent->node[id+1].ptr->keynum>(ceil(m/2)-1)) 

    { 

     for(int i=1;i<m&&dnode->parent->node[i].key < dnode->parent->node[id+1].ptr->node[1].key;i++) 

         dnode->node[i].key=dnode->parent->node[i].key; 

     dnode->parent->node[1].key=dnode->parent->node[id+1].ptr->node[1].key; 

     (dnode->parent->node[id+1].ptr->keynum)--; 

    }//else if 被删关键字Ki所在结点的关键字数目等于ceil(m/2)-1,则需调整。本次为与右兄弟调整 

 else if((dnode->keynum==(ceil(m/2)-1))&&((id-1)>0    )&&dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum>(ceil(m/2)-1)) 

    { 

     for(int i=1;i<m&&dnode->parent->node[i].key > dnode->parent->node[id-1].ptr->node[dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum].key;i++) 

         dnode->node[i].key=dnode->parent->node[i].key; 

     dnode->parent->node[1].key=dnode->parent->node[id-1].ptr->node[dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum].key; 

     (dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum)--; 

    }//2-else if被删关键字Ki所在结点的关键字数目等于ceil(m/2)-1,则需调整。本次为与左兄弟调整 

 else if((dnode->keynum==(ceil(m/2)-1))&&((id+1)<(m-1))&&dnode->parent->node[id+1].ptr->keynum==(ceil(m/2)-1)) 

    { 

     do 

       { 

         BTree tmp; 

         tmp=dnode; 

        dnode->parent->node[id+1].ptr->node[2]=dnode->parent->node[id+1].ptr->node[1]; 

        dnode->parent->node[id+1].ptr->node[1]=dnode->parent->node[1]; 

        dnode->parent->node[id+1].ptr->keynum++; 

        dnode->parent->node[id+1].ptr->node[0].ptr=dnode->node[1].ptr; 

        dnode->parent->keynum--; 

        dnode->parent->node[id].ptr=NULL; 

        tmp=dnode; 

        if(dnode->parent->keynum>=(ceil(m/2)-1)) 

            dnode->parent->node[1]=dnode->parent->node[2]; 

        dnode=dnode->parent; 

        free(tmp); 

       }while(dnode->keynum<(ceil(m/2)-1));    //双亲中keynum< 

    }//3-else if被删关键字Ki所在结点和其相邻兄弟结点中的的关键字数目均等于ceil(m/2)-1,本次假设右兄弟存在 

 else if((dnode->keynum==(ceil(m/2)-1))&&(id-1)>0      &&dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum==(ceil(m/2)-1)) 

    { 

     do 

       { 

         BTree tmp; 

         tmp=dnode; 

        dnode->parent->node[id-1].ptr->node[2]=dnode->parent->node[id-1].ptr->node[1]; 

        dnode->parent->node[id-1].ptr->node[1]=dnode->parent->node[1]; 

        dnode->parent->node[id-1].ptr->keynum++; 

        dnode->parent->node[id-1].ptr->node[0].ptr=dnode->node[1].ptr; 

        dnode->parent->keynum--; 

        dnode->parent->node[id].ptr=NULL; 

        tmp=dnode; 

        if(dnode->parent->keynum>=(ceil(m/2)-1)) 

            dnode->parent->node[1]=dnode->parent->node[2]; 

        dnode=dnode->parent; 

        free(tmp); 

       }while(dnode->keynum<(ceil(m/2)-1)); //双亲中keynum< 

    }//4-else if被删关键字Ki所在结点和其相邻兄弟结点中的的关键字数目均等于ceil(m/2)-1,本次假设左兄弟存在 

     else printf("Error!"); //出现异常 

 }//DeleteIt 

 void UserDelete(BTree t) 

 { 

 KeyType date; 

 Result s; 

 printf("Please input the date you want to delete:\n"); 

 scanf("%d",&date); 

 s=SearchBTree(t,date); 

 if(!s.tag)  printf("Search failed,no such date\n"); 

 else DeleteIt(t,s.pt,s.i); 

 }//UserDelete 


 int main() 

 { 

 Record r[N]={{24,"1"},{45,"2"},{53,"3"},{12,"4"},{37,"5"}, 

         {50,"6"},{61,"7"},{90,"8"},{100,"9"},{70,"10"}, 

         {3,"11"},{30,"12"},{26,"13"},{85,"14"},{3,"15"}, 

         {7,"16"}};     

 BTree t; 

 InitDSTable(t); 

 InputBR(t,r); 

 printf("按关键字的顺序遍历B_树:\n"); 

 TraverseDSTable(t,print); 

 UserSearch(t); 

 UserDelete(t); 

 TraverseDSTable(t,print); 

 DestroyDSTable(t); 

 return 1; 

 }

B-树查找包含两种基本动作:

     ●在B-树上查找结点

     ●在结点中找关键字

前一操作在磁盘上进行,后一操作在内存进行。因此查找效率主要由前一操作决定。在磁盘上查找的次数取决于关键字结点在B-树上的层次数。

定理:若n≥1,m≥3,则对任意一棵具有n个关键字的m阶B-树,其树高度h至多为logt((n+1)/2)+1,t= ceil(m/2)。也就是说根结点到关键字所在结点的路径上涉及的结点数不超过logt((n+1)/2)+1。推理如下: