线性时间选择问题-第k小（大）问题-递归与分治

问题：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素。在线性时间内O（n）？

解析：

定义查找第k小元素的算法为 Select(Type a[], int p, int r, int k) 。
将n个输入元素划分成n/5个组，每组5个元素，只可能有一个组不是5个元素。
用任意一种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共n/5个。
递归调用算法select来找出这n/5个元素的中位数。

如果n/5是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个。以这个元素作为划分基准。

伪代码：

Type Select(Type a[], int p, int r, int k)
{
      if (r-p<75) {
        用某个简单排序算法对数组a[p:r]排序;
        return a[p+k-1];
        };
      for ( int i = 0; i<=(r-p-4)/5; i++ )
     //将元素每5个分成一组，分别排序
         BubbleSort(a,p+5*i,p+5*i+4);
        //将该组中位数与a[p+i]交换位置,即： 将a[p+5*i] 至
           a[p+5*i+4]的第3小元素与a[p+i]交换位置;
         Swap(a[p+5*i+2],a[p+i]);
      //找中位数的中位数，r-p-4即上面所说的n-5
      Type x = Select(a, p, p+(r-p-4)/5, (r-p-4)/10);
      int i=Partition(a,p,r, x),
      j=i-p+1;
      if (k<=j) return Select(a,p,i,k);
      else return Select(a,i+1,r,k-j);
}

注：来自《计算机算法设计与分析》（第四版）王晓东 编著

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int Partition(int *a, int p, int n, int beginval)
{
    int temp, beginpos;
    for(int i = 0; p <= n - p + 1; ++i)
        if(a[p + i] == beginval)
        {
          beginpos = p + i;
          break;
        }
    temp = a[p];
    a[p] = a[beginpos];
    a[beginpos] = temp;
    temp = a[p];
    while(p < n)
    {
        while(a[n] >= temp && p < n) --n;
        a[p] = a[n];
        while(a[p] <= temp && p < n) ++p;
        a[n] = a[p];
    }
    a[p] = temp;
    return p;
}
int Select(int *a, int p, int n, int k)
{
    int temp;
    if(n - p < 75)
    {
        sort(a + p, a + n);
        return a[p + k - 1];
    }
    else
    {
        int ArrNum = (n - p + 1) / 5, i;
        if(5 * ArrNum != n - p + 1)
            ++ArrNum;
        for(i = 0; i < ArrNum - 1; ++i)
        {
            sort(a + p + i * 5, a + p + i * 5 + 4);
            temp = a[p + i];
            a[p + i] = a[p + i * 5 + 2];
            a[p + i * 5 + 2] = temp;
        }
        sort(a + p + i * 5, a + n);
        int midval = Select(a, p, p + ArrNum, ArrNum / 2);
        int midpos = Partition(a, p, n, midval);
        int ranking = midpos - p + 1;
        if(k <= ranking)
            return Select(a, p, midpos, k);
        else
            return Select(a, midpos + 1, n, k - ranking);
    }
}
int main()
{
    int a[100];
    int n, k;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%d", &a[i]);
    int val = Select(a, 0, n, k);
    printf("%d\n", val);
}