grnn神经网络模型iris grnn神经网络模型函数

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AI大梦想家 2023-09-04 20:52:42

文章标签 grnn神经网络模型iris 神经网络激活函数样本集 文章分类 神经网络人工智能

概述

以监督学习为例，假设我们有训练样本集(x(i),y(i)),那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的的假设模型h_w,b(x),它具有参数W，b，可以以此参数来拟合我们的数据。

为了描述神经网络，我们先从最简单的神经网络讲起，这个神经网络仅由一个“神经元”构成，以下即是这个神经元的图示：

grnn神经网络模型iris grnn神经网络模型函数_激活函数

这个“神经元”是一个以x_1,x₂,x₃及截距+1为输入值的运算单元，其输出为

$\textstyle h_{W,b}(x) = f(W^Tx) = f(\sum_{i=1}^3 W_{i}x_i +b)$

其中函数

$\textstyle f : \Re \mapsto \Re$

被称为“激活函数”。在本教程中，我们选择sigmoid函数作为激活函数f(.)

$f(z) = \frac{1}{1+\exp(-z)}.$

可以看出，这个单一“神经元”的输入——输出映射关系其实就是一个逻辑回归（logistic regression）.

虽然本系列教程采用sigmoid函数，但你也可以选择双曲正切函数（tanh）:

$f(z) = \tanh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}},$

以下分别是sigmoid及tanh的函数图像

$\textstyle \tanh(z)$

函数是sigmoid函数的一种变体，它的取值范围为

$\textstyle [-1,1]$

，而不是sigmoid函数的

$\textstyle [0,1]$

。最后要说明的是，有一个等式我们以后会经常用到：如果选择

$\textstyle f(z) = 1/(1+\exp(-z))$

，也就是sigmoid函数，那么它的导数就是

$\textstyle f'(z) = f(z) (1-f(z))$

（如果选择tanh函数，那它的导数就是

$\textstyle f'(z) = 1- (f(z))^2$

，你可以根据sigmoid（或tanh）函数的定义自行推导这个等式。

神经网络模型

所谓神经网络就是将许多个单一“神经元”联结在一起，这样，一个“神经元”的输出就可以是另一个“神经元”的输入。例如，下图就是一个简单的神经网络：

我们使用圆圈来表示神经网络的输入，标上“

$\textstyle +1$

”的圆圈被称为偏置节点，也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做输入层，最右的一层叫做输出层（本例中，输出层只有一个节点）。中间所有节点组成的一层叫做隐藏层，因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到，以上神经网络的例子中有3个输入单元（偏置单元不计在内），3个隐藏单元及一个输出单元。我们用

$\textstyle {n}_l$

来表示网络的层数，本例中

$\textstyle n_l=3$

，我们将第

$\textstyle l$

层记为

$\textstyle L_l$

，于是

$\textstyle L_1$

是输入层，输出层是

$\textstyle L_{n_l}$

。本例神经网络有参数

$\textstyle (W,b) = (W^{(1)}, b^{(1)}, W^{(2)}, b^{(2)})$

，其中

$\textstyle W^{(l)}_{ij}$

（下面的式子中用到）是第

$\textstyle l$

层第

$\textstyle j$

单元与第

$\textstyle l+1$

层第

$\textstyle i$

单元之间的联接参数（其实就是连接线上的权重，注意标号顺序），

$\textstyle b^{(l)}_i$

是第

$\textstyle l+1$

层第

$\textstyle i$

单元的偏置项。因此在本例中，

$\textstyle W^{(1)} \in \Re^{3\times 3}$

，

$\textstyle W^{(2)} \in \Re^{1\times 3}$

。注意：没有其他单元连向偏置单元（即偏置单元没有输入），因为它们总是输出+1.同时。同时，我们用

$\textstyle s_l$

表示第

$\textstyle l$

层的节点数（偏置单元不计在内）。我们用

$\textstyle a^{(l)}_i$

表示第

$\textstyle l$

层第

$\textstyle i$

单元的激活值（输出值）。当

$\textstyle l=1$

时，

$\textstyle a^{(1)}_i = x_i$

，也就是第

$\textstyle i$

个输入值（输入值的第

$\textstyle i$

个特征）。对于给定参数集合

$\textstyle W,b$

，我们的神经网络就可以按照函数

$\textstyle h_{W,b}(x)$

来计算输出结果。本例神经网络的计算步骤如下：

$\begin{align} a_1^{(2)} &= f(W_{11}^{(1)}x_1 + W_{12}^{(1)} x_2 + W_{13}^{(1)} x_3 + b_1^{(1)}) \\ a_2^{(2)} &= f(W_{21}^{(1)}x_1 + W_{22}^{(1)} x_2 + W_{23}^{(1)} x_3 + b_2^{(1)}) \\ a_3^{(2)} &= f(W_{31}^{(1)}x_1 + W_{32}^{(1)} x_2 + W_{33}^{(1)} x_3 + b_3^{(1)}) \\ h_{W,b}(x) &= a_1^{(3)} = f(W_{11}^{(2)}a_1^{(2)} + W_{12}^{(2)} a_2^{(2)} + W_{13}^{(2)} a_3^{(2)} + b_1^{(2)}) \end{align}$

我们用

$\textstyle z^{(l)}_i$

表示第

$\textstyle l$

层第

$\textstyle i$

单元输入加权和（包括偏置单元），比如，

$\textstyle z_i^{(2)} = \sum_{j=1}^n W^{(1)}_{ij} x_j + b^{(1)}_i$

，则

$\textstyle a^{(l)}_i = f(z^{(l)}_i)$

。。这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将激活函数f(.)扩展为用向量（分量的形式）来表示，即

$\textstyle f([z_1, z_2, z_3]) = [f(z_1), f(z_2), f(z_3)]$

，那么，上面的等式可以更简洁地表示为：

$\begin{align} z^{(2)} &= W^{(1)} x + b^{(1)} \\ a^{(2)} &= f(z^{(2)}) \\ z^{(3)} &= W^{(2)} a^{(2)} + b^{(2)} \\ h_{W,b}(x) &= a^{(3)} = f(z^{(3)}) \end{align}$