1. 引言
1.1 何为衍生产品
衍生产品定义：
- 一种双边合约/支付交换协议
- 合约的价值是从基本的资产或某种基础性的利率或指数上衍生出来，基础资产包含利率，汇率，商品，股票和其他指数
1.2 衍生产品交易场所的类型
交易所和场外市场
- 交易所市场
- 交易所内，衍生品是经过交易所标准化（数量，质量，面额）之后的衍生产品合约
- 中国国内期货市场：郑州商品交易所、上海期货交易所、大连商品交易所、中国金融期货交易所（股指期货、国债期货）
- 场外市场（OTC）
- 分散市场，没有固定交易场所，交易员之间联系
- 交易可以递交中央交易对手方（CCP）或自行进行双边清算
- 与交易所相比，OTC交易次数较少，但交易平均规模大很多
1.3 衍生产品合约的类型
远期、期货、期权、互换（掉期）
1.3.1 远期合约 Forward Contract
定义： 将在某一指定时刻以事先约定价格买入或卖出某一基础资产的合约
- 与即期合约 Spot Contract相对应，当天或T+2交易日以内要买入或卖出资产的合约
- 同意在将来某一时刻以某一约定价格买入资产的一方为多头（long position），反之为空头（short position）
- 在外汇市场上很流行，常常是金融机构之间或者金融机构与客户之间在场外市场进行的交易
损益计算
远期合约到期时，
- 对于远期合约的多头而言，每单位的合约价值/损益为：
\[S_T - K \]
其中，\(S_T\)表示远期合约的基础资产到期时的市场价格， \(K\)表示在远期合约中约定的执行价格
- 对于远期合约的空头而言，每单位的合约价值/损益为：
\[K - S_T \]
衍生产品是零和市场
1.3.2 期货合约 Futures Contract
定义：将在某一指定时刻以事先约定价格买入或卖出某一基础资产的合约
- 交易所对期货合约做了标准化处理，同时交易所设定了一套机制（如保证金，逐日盯市等）来保证交易双方履行合约
- 期货交易的基础资产（标的资产）包括各种商品和金融资产（如股票指数、汇率和国债）
DIFF with 远期合约
- 期货合约交易是在交易所进行的，交易双方不知道交易对手是谁（匿名交易），而远期合约的交易双方都彼此知晓对方，且在场外市场进行交易，交易双方可以按需要来设计合约
- 期货合约每日结算，远期合约只有最后到期时才会结算
- 远期合约通常会发生实物或现金交割，而期货合约通常在到期前会被平仓
- 远期合约有信用风险，期货合约基本没有信用风险
1.3.2 互换（掉期） Swap
交易双方依据预先约定的协议，在未来确定期限内，相互交换现金流的金融合约。在合约中，双方约定现金流的互换时间以及现金流数量的计算方法
- 互换的期限比远期和期货要长
- 互换可以视为远期合约的组合
- 互换的动机是交易双方希望能够实现双赢
- 对于互换现金流的计算会涉及利率、汇率、股票价格、商品价格或其他市场变量
1.3.2 期权合约
分为两种基本类型，看涨期权和看跌期权
- 看涨期权（Call Option / 认购期权） 的持有者有权在将来某一特定时间以某一特定价格买入某种资产
- 看跌期权（Put Option / 认沽期权） 的持有者有权在将来某一特定时间以某一特定价格卖出某种资产
按照是否需要在期权到期日才能执行，分为美式期权和欧式期权：
- 美式期权（American Option）是指期权持有人在到期日前任何时间或者在期权合约存续期间内都可以选择行权的合约
- 欧式期权（European Option）实质期权持有人只有在到期日才能选择是否行权的合约
股票交易所大部分都是美式期权
- 期权定义中提到的特定价格，在期权合约中被称为“执行价格”（exercise price/strike price，行权价格或敲定价格）
- 期权定义中提到的特定时间成为“到期日” （expiration date/maturity ）
- 卖出期权也被称为沽出期权，期权承约(writing the option)
- 期权市场中有4类参与者。(1)看涨期权的买入方（持有人、 多头）：(2)看涨期权的卖出方（空头）；(3)看跌期权的买入方 （持有人、多头)；
(4)看跌期权的卖出方（空头）
即期权的买入方称为持有多头，期权的卖出方称为持有空头。 - 期权多头只有权利而无义务，相比之下，远期和期货合约中的双方必须要买入或卖出基础资产。期权多头必须向空头付出一定费用（即期权费(premium））才能拥有权利 ，相比之下，达成远期或期货合约时则不需要支付类似的费用。
- 期权的买入-卖出差价（作为价格的百分比）通常比其标的股票的差价要大，而且同时也取决于其交易量
- 一般来说
- 对于看涨期权时限越长期权费越高；
- 执行价格上升时，看涨期权价格下降，看跌期权价格上升。
- 实值看涨 > 平值看涨 > 折价看涨 > 虚值看涨
8080期权：80call实值期权（现价的80%为行权价的看涨期权 + 净收折价80%），期权费低于80call
雪球产品： https://www.financialnews.com.cn/zq/zj/202203/t20220317_241980.html
雪球结构本质上是一种奇异期权，设置有敲入敲出条件，最后的收益取决于挂钩标的资产的表现和敲入敲出事件是否发生。若标的资产价格上涨到一定程度（敲出价），雪球产品提前终止，投资者获得存续期间的固定收益；若标的资产价格下跌到一定程度（敲入价），则要根据到期日标的资产价格决定损益情况，投资者可能会承担标的资产下跌的风险；若标的资产从未触碰到敲入敲出价格，投资者获得整个产品期间的固定收益。
KODA 累计期权:
https://www.yinhang.org/衍生产品/155459.htmlhttps://www.economiclaw.pku.edu.cn/docs/2020-05/20200524111806098749.pdf
KODA规定投资者在一段时间内必须以固定行权价持续购入某种金融资产（如股票），投资人实质上是向银行卖出了股票的看跌期权，导致收益有限、风险无限
KODA有四个特性：
1、买入股票的行使价往往比现价低10-20%；
2、当股价升过现价3-5%时，合约自行取消；
3、当股价跌破行使价时，投资者必须双倍购买股票；
4、合约期一般为一年，投资者只要有合约金额40%的现金或股票抵押即可购买，因此这一产品往往带有很高的杠杆性。
1.4 衍生产品交易的动机
套期保值、套利、投机
1.5 衍生品的交易员种类
分为对冲者（hedger），投机者（speculator），套利者（arbitrageur），对冲者采用衍生产品合约来减小自己所面临的由于市场变化而产生的风险，投机者利用这些产品对今后市场变量的走向下赌注，套利者则采用两个或更多相互抵消的交易来锁定盈利
- 对冲者
- 对冲者面临资产价格风险，对冲的目的是减小或消除风险，对冲后的实际结果并不一定能保证比不对冲好
-采用期货合约与采用期权进行对冲有一个关键性区别：以期货合约来中和风险的形式是通过设定买人和卖出标的资产的价格来对冲；而期权产品则是提供了价格保险。当价格向不利方向变化时，期权产品对投资者提供了保护，但同时又能使投资者在价格向有利方向变化时盈利。与期货不同，拥有期权是需要付费的
- 投机者
- 对资产价格的上涨/下跌下注
- 衍生产品可以使投机者取得杠杆效应，使用很少的资金建立很大的投机头寸
-对于投机者所取得的杠杆效应而言，期货和期权比较相似。但是，这两种产品有一个重要区别：投机者使用期货时，潜在的提失与收益都很大。但采用期权产品时，不管市场有多么糟糕，投机者的损失不会超过所支付的期权费用。
- 套利
- 套利者试图从两个不同的市场价格的失衡中盈利
- 套利包括同时进行两种或更多的交易来锁定无风险盈利。在后面的章节中，我们将会论述当某一个资产的期货价格与其即期市场价格不协调时，如何会产生套利机会。
2. 期货市场的运作机制
2.1 期货价格收敛到即期价格
随着期货合约交割月份的逼近，期货价格会逐渐收敛到标的资产的即期价格。在到达交割期间，期货价格会等于（或非常接近）即期价格。
- 期货价格是期限的递增函数时，称为期货溢价（contango）， 期货价格是期限的递减函数时，称为现货溢价（backwardation）。
2.2 保证金账户的运作
2.2.1 每日结算
初始保证金（initial margin）：最初开仓交易时必须存入的资金量
在每个交易日结束时，保证金账户的金额数量都会得到调整，从而反映投资者的盈亏，这种做法叫做每日结算（daily settlement）或按市场定价（marking to marketing）
投资者有权提走保证金账户中超过初始保证金的一部分资金。
交易所一般设置了维持保证金（maintainance margin），维持保证金会低于初始保证金数量，通常为初始保证金的75%。当保证金账户的余额低于维持保证金时，投资人会收到保证金催付（margin call）通知，在下一个交易日投资者需要将保证金账户内的资金增加到初始保证金水平，这一部分增加的资金被称为追加保证金（variation margin）
结算价格（settlement price）用于计算每天合约的盈亏以及所需要的保证金数量，该价格通常为在交易日结束之前最后成交的期货合约价格。
- 交易所设置初始保证金和维持保证金的最低水平，而个体经纪人对客户的保证金要求可能比交易所规定的高。但经纪人要求客户交付的保证金不得低于交易所规定的保证金水平。保证金最低数额的大小由标的资产价格的波动率决定。波动率越高，要求的保证金水平越高。维持保证金通常为初始保证金的75％。
- 要求的保证金数额可能取决于交易目的。通常短线交易和差价交易要求的保证金低于对冲交易的保证金。在短线交易中，交易人向经纪人指明在同一天会将交易进行平仓。差价交易是指交易者在进入某一交割月份合约的多头方（买入合约）时，还同时进入同一标的资产上另一交割月份合约的空头方（卖出合约）。
- 在期货交易中，清算中心起着中介的作用，它保证交易双方会履行合约。清算中心拥有一定数量的结算会员，而不是清算中心会员的经纪人必须通过会员来开展业务，并在会员处注入保证金。清算中心的主要任务是记录每天的交易，以便计算每一个会员的净头寸。
- 清算中心要求会员提供初始保证金（有时也被称作结算保证金），其数量反映了所要结算合约的总数量。清算中心对会员没有维持保证金的要求。每天结算会员处理的交易都要经过清算中心来进行结算。如果会员处理的交易总和出现了亏损，会员需要向交易所清算中心提供追加保证金；如果交易总和出现了盈余，会员将从交易所清算中心收到追加保证金。
在计算初始保证金时，未平仓合约的数量一般是在净持仓基础上计算的，这意味着在合约总数计算过程中，会员处理的空头合约数量会抵消该会员所持有的多头合约数量。清算中心会员需要向清算中心提供担保基金。当会员需要提供追加保证金而没能做到时，这时担保基金可以用来填补将会员的头寸平仓时所出现的亏损。
2.3 指令
- 市场指令（market order）：以市场上可以得到的最好价格马上进行交易的指令
- 限价指令（limit order）：指定一个价格，只有在达到该价格或价格更优惠时才能执行这一指令
- 停止指令（stop order）或止损指令（stop-loss order）：当买入价或卖出价达到这一价格或者价格更不利时指令才会被执行。
目的是在不利价格发生后对头寸进行平仓，控制损失的幅度。在注明的价格被达到时，止损指令就会成为市场指令 - 限价止损指令（stop-limit order）是一个止损指令和限价指令的组合
- 触及市场指令（market-if-touched order，MIT）是指当价格达到指定水平或者比指定水平更有利的价格才执行交易的指令，也被称为挂盘指令（board order），目的是如果价格朝有利方向变动，当盈利足够高时马上兑现
3. 利用期货的对冲策略
3.1 对冲原理
使用期货产品来对冲风险时，目标是选择尽量使风险中性化的头寸
- 空头对冲（short hedge）： 即持有期货合约空头的对冲。当对冲者已经拥有了某种资产并期望在将来某时刻卖出资产时，或现在没有但将来某时刻会持有该资产的可以选择期货的空头方进行对冲。
此时实际上用期货价格锁定了卖出价格（不过由于履行交割很麻烦，对冲者会选择将期货合约平仓 - 多头对冲（long hedge）： 即持有期货合约多头的对冲。当对冲者在将来某时刻需要买入一定资产时，或存在卖空的情况时，可以选择期货的多头方进行对冲。
此时实际上用期货价格锁定了买入价格
完美对冲：完全消除风险的对冲
3.2 不适用对冲的场景
对冲不一定合适：
- 行业里其他公司都不对冲
- 公司偏好不支持
3.3 基差风险
实际对冲中会有许多阻碍：
（1）需要对冲价格风险的资产与期货合约的标的资产可能并不完全一样；
（2）对冲者可能无法确定买人或卖出资产的准确时间；
（3）对冲者可能需要在期货到期月之前将期货平仓。
这些问题就引起了所谓的基差风险（basis rsk）
3.3.1 基差
在对冲意义下，基差（basis）的定义为
\(基差 = 被对冲资产的即期价格－用于对冲的期货合约价格\)
如果被对冲的资产与期货合约的标的资产相同，在期货到期时基差应当为0。在到期日之前，基差可正可负。
随着时间的变化，即期价格变化与特定月份期货的价格变化并不一定相同，因而会导致基差的变化。
- 当基差变大时称为是基差增强（strengthening of the basis） ；
- 当基差小时为基差减弱（weakening of the basis）
基差风险的性质：
- 假设：
\(S_1\):在时刻\(t_1\)的即期价格； \(S_2\):在时刻\(t_2\)的即期价格；
\(F_1\):在时刻\(t_1\)的期货价格； \(F_2\):在时刻\(t_2\)的期货价格；
\(b_1\):在时刻\(t_1\)的基差； \(b_2\):在时刻\(t_2\)的基差。
- 我们假定在时刻\(t_1\)，建立对冲头寸，并在时刻\(t_2\)平仓。
假设在刚建立对冲时，即期和期货价格分别是2.50美元和2.20美元，在对冲平仓时，即期和期货价格分别是2.00 美元和1.90美元。
这意味着\(S_1\) =2.50， \(F_1\)=2.20， \(S_2\) =2.00 和\(F_2\)=1.90。
由基差定义 \(b_1 = S_1 - F_1 和 b_2 = S_2 - F_2\)，
得出$ b_1$ =0.30 和$ b_2$ =0. 10。 - 首先考虑如下情形：对冲者已知将在时刻\(t_2\)卖出资产，并在\(t_1\)时持有了期货空头。
资产所实现的价格为\(S_2\)，期货的盈利为\(F_1-F_2\)。因此对冲后，卖出资产所得实际价格为 \(S_2 +F_1 － F_2 = F_1 + b_2\)
在我们的例子中，上式等于2.30美元。在时刻\(t_1\)已知\(F_1\)的价格，如果在这个时刻也知道\(b_2\)，那么这时可以构造完美对冲。
对冲风险与\(b_2\)的不确定性有关，此风险即为基差风险。 - 考虑另外一种情形，公司知道在时刻\(t_2\)将购买资产，因而在时刻\(t_1\)进行了多头对冲。
买人资产所付价格为\(S_2\)，对冲的损失为\(F_1-F_2\) （因为多头）。
实施对冲以后，买人资产支付的实际价格为 \(S_2 +F_1 － F_2 = F_1 + b_2\)
这与前面的表达式一样，在本例中上式等于2.30美元。
在时刻\(t_1\)已知\(F_1\)的价格，\(b_2\)代表基差风险。
基差风险可以使得对冲者的头寸得到改善或得到恶化。
- 在空头对冲时，基差增强，则头寸改善（期货盈利增加，卖出实际价格上升）
- 在多头对冲时，基差增强，则头寸恶化
- 交叉对冲（cross hedging）
- 指给对冲者带来风险的资产和用于对冲的合约标的资产不一样的情况，此时基差风险一般会更大
- 假设\(S_2^*\)为期货合约标的资产在时刻\(t_2\)的价格，\(S_2\)为被对冲资产在时刻\(t_2\)的价格，那么对冲后的购买/出售价格为 \(S_2 +F_1 － F_2\)
- 上式可以变为\(F_1 + （S_2^* - F_2 ）+ （S_2 - S_2^*）\)，
- $S_2^* - F_2 $ 和 \(S_2 - S_2^*\)
- $S_2^* - F_2 $ 代表被对冲资产与期货合约标的资产一致时，对冲所产生的基差，
- $ S_2 - S_2^*$ 是由于被对冲资产与期货合约标的资产不一样而产生的基差
基差强化/减弱
The basis is not a constant, it changes from time to time. If the basis gains in value, we say the basis has strengthened. Conversely, if the basis declines in value, we say the basis has weakened.
The main factors responsible for the changes in basis are usually shifts in short-term demand and supply.
If demand is strong and the available supply small, spot prices could rise relative to futures prices, causing the basis to strengthen. On the other hand, if the demand is weak and a large supply is available, spot prices could fall relative to the futures price, causing the basis to weaken.
Contango vs. Backwardation - Why Is It Important to Hedgers?
The shape of the forward curve is important to hedgers and speculators, the curve indicates whether crypto futures markets are in contango or backwardation.
When a market is in contango, the price of a futures contract is higher than the spot price.
Conversely, when a market is in backwardation, the price of the futures contract is lower than the spot price.
A hedge consists of two components, the underlying exposure and the hedging instrument.
Therefore, hedging strategies carry basis risk. When a Bitcoin miner employs a hedging strategy, he exchanges price risk for basis risk.
Basis risk occurs when there is a divergence in the differential between the spot price and the futures price. The main source of basis risk is the unexpected strengthening or weakening of the basis.
While a hedged strategy protects from outright price risk, the hedger is still exposed to basis risk. Although the basis can and does fluctuate, it is still generally less volatile than either the spot or futures price.
In the following scenarios, we will observe how basis risk impacts the profitability of hedgers.
When a miner puts on a short hedge by selling futures, the hedge creates a position where the miner is now long the basis. If the spot price of Bitcoin increases relative to the futures price, the basis strengthens. This would result in a positive return for the miner.
举例：
- 已知basis = 现货-期货，
假设开始时basis为100，此时long现货short期货，亏损100；
假设basis上升为120，此时卖现货买期货，赚120；
总体来看基差上升20，组合也净赚20.
合约套利：
https://www.binance.com/zh-CN/blog/futures/合约基差交易的来龙去脉-421499824684900717
3.3.2 对冲合约的选择
选择包括：
1. 期货合约标的资产的选择
- 一般选取与被对冲资产相同的标的，else wise 找相关性高的资产
2. 交割月份的选择
- 一般选择与对冲期限最近但在其后的交割月份
- 对冲期限与期货交割月份之间的差距增大时，基产风险也会增大
- 处于交割月份中的期货价格不稳定且有交割风险
- 可以采用短期合约并不断将合约向前展期，保证流动性
3.4 对冲比率
对冲比率（hedging ratio）：持有期货合约的头寸数量与资产风险敞口数量的比率
- 当期货标的资产与被对冲资产一样时，对冲比率为1
- 采用交叉对冲时，对冲比率应该使被对冲后头寸价格变化的方差最小化
3.4.1 计算最小方差对冲比率
∆S: 对冲期限内，即期价格S的变化
∆F: 对冲期限内，期货价格F的变化
???
最优拟合直线的斜率\(h^*\), \(h^*= \rho \frac{\sigma_S}{\sigma_F}\)，其中\({\sigma_S}\)是∆S的标准差，\({\sigma_F}\)是∆F的标准差，\(\rho\)是两者之间的相关系数
对冲者头寸价值变化的方差与对冲比率的关系
对冲效率：对冲所消除的方差量占总方差的比例，为$ \rho^2$
3.4.2 最优合约数量
\(Q_A:\) 被对冲头寸的数量（单位数量）
\(Q_F:\) 1份期货合约的规模（单位数量）
\(Q^*:\)
\(N^* = \frac{h^*Q_A}{Q_F}\)
3.4.3 尾随对冲
当采用期货来对冲时，每日结算制度意味着对于每天的交割可以做出一个微小调整，这一调整方式被称为尾随对冲。
如果S和F为即期和期货价格，期货价格每天百分比变化的标准差为\(\hat{\sigma_F}\)，即期价格每天百分比变化的标准差为为\(\hat{\sigma_S}\)，期货价格每天百分比变化和即期价格每天百分比变化间的相关系数为\(\hat{\rho}\)
- 则1天价格变化的标准差分别为\(S\hat{\sigma_S}\)和\(F\hat{\sigma_F}\)，期限为一天的对冲比率为\(\hat{\rho}\frac{S\hat{\sigma_S}}{F\hat{\sigma_F}}\)，则\(N^* = \hat{\rho}\frac{S\hat{\sigma_S}Q_A}{F\hat{\sigma_F}Q_F}\)
在实际中，这意味着上述方程变为：\(N^* = \hat{h}\frac{V_A}{V_F}\)
- \(V_A\)为被对冲头寸的价值（资产价格乘以\(Q_A\)），\(V_F\)为一个期货合约的价值（期货价格乘以\(Q_F\)）
- \(\hat{h}=\hat{\rho}\frac{\hat{\sigma_S}}{\hat{\sigma_F}}\)， 要用现货价格每天百分比变化ΔS和期货价格每天百分比变化ΔF的标准差及相关系数计算
说明对冲期货头寸需要随\(V_A\)和\(V_F\)的变化而调整，不过实际中在一天内对冲的变化很小，通常被忽略
3.4.3 股票组合的对冲
股指期货可用于对冲风险分散良好的股票投资组合
\(V_A:\) 股票组合的当前价值
\(V_F:\)
\(N^* = \frac{h^*Q_A}{Q_F}\)
- 如果组合是为了跟踪股票指数，最优对冲率\(h^*=1\)，\(N^* = \frac{V_A}{V_F}\)
- 当股票组合不跟踪股指时，我们可以采用资本资产定价模型中的ß值来确定持有期货空头的数量。\(h^*=\beta\) \(N^* = \beta\frac{V_A}{V_F}\)
- ß是将组合超过无风险利率的收益与股票市场超过无风险利率的收益进行回归所产生的最佳拟合直线的斜率。当ß=1时，组合收益往往跟踪市场收益；当ß=2时，组合超过无风险利率的收益等于股票市场超过无风险收益的两倍；当ß=0.5时，组合超过无风险利率的收益等于股票市场超过无风险收益的一半。
- 一个ß值等于2.0的组合对市场的敏感度是一个ß值等于1.0的组合的两倍。因此，为了对冲这一组合，我们将需要两倍数量的合约。类似地，一个ß值等于0.5的组合对市场的敏感度是一个β值等于1.0的组合的一半，因此我们只需要一半数量的合约来对冲风险。
3.4.4 收益率计算
收益 = 期货收益 + 资产组合收益
- 期货收益 = ∆期货价格 x 合约乘数 x 合约数量
- 资产组合收益 = \(R_F +\beta(R_M - R_F)\), \(R_M\)可以用股指回报率来估算（指数现货增长率 + 股息收益率）
3.4.5 改变组合的ß
通常来讲，将组合的Beta从 \(\beta\) 变为 \(\beta^*\)
- 如果\(\beta>\beta^*\) ，所持期货空头的数量为\(（\beta - \beta^*）\frac{V_A}{V_F}\)
- 如果\(\beta<\beta^*\) ，所持期货多头的数量为\(（\beta^* - \beta ）\frac{V_A}{V_F}\)
4. 利率
利率是决定几乎所有衍生产品价格的因素之一，利率定义了在一定情况下借入方承诺支付给借出方的资金数量。一个基点代表每年0.01%。
4.1 各种常见利率
在任何货币中都会经常引用许多种类型的利率，一般来说信用风险越大，借入方承诺的利率也越高。
4.1.1 国债收益率
国债收益率是投资者将资金投资于国库券与国债时所挣得的收益率。
- 国库券和国债是政府借入自身货币而发行的金融产品，如美国国债收益率是指美国政府借入美元的利率
- 国债利率为无风险利率，因为通常认为一个政府不会对自己发行并以自己货币为单位的债务违约，即买入短期和中长期国债的投资者肯定会收到国债所承诺的本金和利息。
4.1.2 LIBOR （London Interbank Offered Rate）
LIBOR是伦敦同业银行拆借利率的缩写，它是银行之间的短期无抵押拆借利率
- 在每个业务日，通常是计算针对10种货币和15个借贷期限的LIBOR利率。借贷期限从1天到1年不等。在全球市场上，LIBOR利率被用作好几百万亿美元交易的参考利率。一种常见的以LIBOR作为参考利率的衍生产品是利率互换（见第7章）。
- 英国银行家协会（British Bankers Association，BBA）在每个业务日的上午11点半（英国时间）发布当天的LIBOR利率。
- 为了计算LIBOR利率，英国银行家协会征询一些银行，看它们在正好上午11点（英国时间）以前，银行借入资金的利率。对于不同银行给出的报价，英国银行家协会删去前1/4的最高报价和后1/4的最低报价，然后计算中间数据的平均值，这个平均值就是当天的LIBOR报价，一般来讲，所有提供报价的银行的信用评级都是AA级。因此，LIBOR 常被看作AA级金融机构之间的无抵押借贷利率
- 由于银行之间的拆借行为并不多，LIBOR难以得到精准估计，以及银行有动机操纵LIBOR（低利率使银行看起来健康；利率互换依赖于LIBOR），因此将来关于LIBOR的报价会被少数基于流动性较好的市场交易的报价所取代
4.1.3 联邦基金利率
在美国，金融机构之间的隔夜拆借利率被称为联邦基金利率（federal funds rate）
- 在美国，金融机构都要在美联储存入一定数量的现金（称为现金储备）。在任何时刻，银行需要存入现金储备的数量与银行的资产负债状态有关。在一天结束时，有些金融机构在美联储设定账户中会有资金盈余，有些金融机构会有资金缺口，这就导致了隔夜拆借。
- LIBOR和联邦基金利率均为无抵押利率。除了2007年8月到2008年12月这一段时间以外，平均来讲，隔夜LIBOR利率比有效联邦基金利率要高6个基点（0.06％）。造成两个利率差别的原因包括：时间差异、英国借贷群体和纽约借贷群体的不同以及伦敦和纽约结算机制的不同
- 借人和借出资金交易往往是通过经纪商来达成的，由经纪商所达成交易的利率加权平均（权重与交易规模有关）被称为有效联邦基金利率（effective federal funds rate），该利率由中央银行监控。在必要时，央行可以通过自身交易来对利率的水平进行调整。其他国家也有类似于美国的机制。例如，在英国，经纪商达成的平均利率被称作为英镑隔夜指数平均（stering overnight index average，SONIA）；在欧元区，相应的利率被称作是欧元隔夜指数平均（euro overnight index average，EONIA）
4.1.4 再回购利率
再回购（repo）利率是有抵押借贷利率。在再回购合约中，拥有证券的金融机构同意将证券出售给合约的另一方，并在将来以稍高价格将证券买回。金融机构由此得到的是贷款，所支付的利息等于证券卖出与买人之间的差价，相应的利率被称为再回购利率（repo rate）。
- 如果仔细地设计再回购合约，这种交易几乎没有信用风险。如果借款人不履行合约，那么借出方可以保留证券。如果借出方不履行合约，那么证券的原拥有人可以保留现金。
- 最流行的再回购合约是隔夜回购（overnight repo），这种回购合约每天都要重新设定。但是期限较长的合约，即所谓的期限回购（term repo）有时也会被从业者使用。
- 因为再回购利率对应于有抵押借贷，所以再回购利率比相应的联邦基金利率要稍低一些。
4.1.5 “无风险”利率
衍生产品的定价一般是通过建立一个无风险投资组合，然后使投资组合的回报等于无风险利率。因此无风险利率在衍生产品定价过程中起着一个关键性的作用。
在本书的大部分地方我们会用到无风险利率，但并不明确说明无风险利率指的是什么。这是因为从事衍生产品交易的从业人员对于无风险利率有几个不同的近似。在传统上一直将LIBOR利率作为无风险利率，尽管我们知道 LIBOR利率并非是无风险，因为AA级的金融机构对于短期借贷有很小的违约可能性。最近在市场上出现了一些变化，在第9章里我们将讨论从业者在选取无风险利率时会考虑的一些问题，以及一些有关的理论问题。
在金融危机之后，使用OIS（隔夜指数互换利率，将一段时间内的固定利率与这段时间内的隔夜拆借利率的几何平均值进行交换的固定利率）作为无风险利率
4.2 利率的度量
- 普通复利
将数量为A的资金投资n年，年利率为R，如果利率是1年复利m次，投资终值为$$A(1+\frac{R}{m})^{mn}$$
当m=1时所对应的利率有时被称为等值年利率（equivalent annual interest rate） - 连续复利
复利频率m趋于无穷大时所对应的利率叫连续复利（continuous compounding）
将数量为A的资金投资n年，年利率为R，如果利率是连续复利，投资终值为$$Ae^{Rn}$$
对一笔在n年后的资金以利率R按连续复利进行贴现，其效果是相当于乘上\(e^{-Rn}\)。大多数情况下，连续复利与每天复利等价。
4.3 零息利率
n年的零息利率是指在今天投出资金并连续保持n年后所得的收益率。所有的利息以及本金都在n年末支付给投资者，在n年满期之前，不支付任何利息收益。n年期的零息利率有时也叫作n年期的即期利率（spot rate），或者n年期零息率（zero rate），或者n年期的零率（zero）。假如5年期连续复利的零息利率是每年5％，这意味着今天的100美元在投资5年后会增长到
\(100xe^{0.05}x5＝128.40（美元）\)
许多在市场上直接观察到的利率并不是纯零息利率。考虑一个票息为6％的5年期政府债券，这个债券本身的价格并不能决定5年期的零息利率，这是因为债券的一些券息发生在5年后的到期日之前。
4.4 债券定价
债券的理论价格等于对债券持有人在将来所收取的现金流贴现后的总和
- 大多数债券提供周期性的票息，债券发行人在债券满期时将债券的本金（有时也称为票面值或面值）偿还给投资者。
- 有时债券交易者用单一贴现率对债券的所有现金流进行贴现，但更精确的办法是对不同现金流采用不同的零息贴现率
为了说明这一点，假设零息利率由表4-2给出（我们在今后将说明如何计算这些值），表中的利率是按连续复利。假设一个两年期债券的面值为100美元，券息为6％，每半年付息一次。为了计算第1个3美元票息的现值，我们用5.0％的6个月贴现率贴现；为了计算第2个3美元票息的现值，我们用5.8％的1年贴现率，依次类推。因此债券的理论价格为
4.5 零息利率的计算
- 票息剥离方法
3个月的连续复利利率R满足\(债券本金 = 债券价格e^{Rx0.25}\)，依次类推
表示零息利率与期限关系之间的图形叫做零息利率曲线。一般假设由票息剥离法所得数值节点之间，曲线为线性；在节点两端，曲线为水平
4.6 远期利率
远期利率（forward interest rate）是指当前零息利率所隐含的对应于将来时间区间的利率。
如果\(R_1\)和\(R_2\)分别对应期限为\(T_1\)和\(T_2\)的零息利率，\(R_F\)为\(T_1\)和\(T_2\)之间的远期利率，那么\(e^{R_1xT_1}e^{R_F(T_2-T_1)} = e^{R_2xT_2}\), $$R_F = \frac{R_2T_2-R_1T_1}{T_2-T_1}=R_2+(R_2-R_1)\frac{T_1}{T_2-T_1}$$
令\(T_2\)接近于\(T_1\),可以得到$$R_F = R+T\frac{∂R}{∂T}$$，其中R是期限为T的零息利率，\(R_F\)为T的瞬时远期利率，即T开始的一段很短时间内的远期利率
4.6 远期利率合约
远期利率合约（FRA）是一种场外交易，这种交易的目的是锁定在将来一段时间偝人或借出一定数量资金时的利率。
在FRA 合约中，借入和借出资金的利率常常设为 LIBOR,
- 如果合约中约定的固定利率大于对应于同一时间段的 LIBOR 利率，借入方要支付借出方的数量等于固定利率与 LIBOR 利率的差乘以面值；
- 如果合约中约定的固定利率小于对应于同一时间段的 LIBOR 利率，借出方要支付借入方的数量等于 LIBOR 利率与固定利率的差乘以面值。
因为利息是在时间段的末端支付的，所以这里所支付的利率之差的时间也是在时间段的末端，然而通常是在区间开始时支付经过贴现以后的数量，见例 4-3。
考虑以下远期利率合约，公司L同意在\(T_1\)和\(T_2\)之间将资金借给公司B，定义
\(R_k: FRA 中约定的利率\)，
\(R_F: 由今天计算的介于时间T_1和T_2之间的远期LIBOR利率\)，
\(R_M: 在T_1观察到的T_1和T_2之间真正的LIBOR利率\)，
\(L: 合约的本金\)，
在此与市场上FRA一致，不采用连续复利假设，而是采用与区间相对应的复合利率，如\(T_2 - T_1 =0.5\)，那么\(R_k, R_F, R_M\)均为半年复利一次
利率在\(T_1\)设定并在\(T_2\)付出，那么在\(T_2\)，公司L的现金流为\(L(R_K-R_M)(T_2-T_1)\)
通常FRA在\(T_1\)进行交割，因此公司L在\(T_1\)的现金流为\(\frac{L(R_K-R_M)(T_2-T_1)}{1+R_M(T_2-T_1)}\)
定价
- 为 FRA定价过程：
- 在假设远期利率会实现的条件下计算收益（即假设 RM=RK)；
- 将收益用无风险利率进行贴现
\[V_{FRA} = L(R_K-R_F)(T_2-T_1)e^{-R_2T_2} \]
\(R_2: T_2期限的无风险利率\)，
4.8 久期
久期（Duration/ Macaulay Duration）是指投资者收到所有现金流所要等待的平均时间，是付款时间的加权平均，权重等于该时刻的支付现值与债券总值之比
\(B\): Bond price,
\(C\): Cash folow,
\(t\): Period time
\[B=\sum^n_{t=1}C_ie^{-yt_i} \]
\[D_{mac}=\sum^n_{t=1}\frac{C_ie^{-yt_i}}{B}t_i \]
（当y变化很小时，$$∆B = \frac{dB}{dy}∆y$$）
\[∆B = -∆y\sum^n_{t=1}t_iC_ie^{-yt_i} = -BD∆y \]
修正久期
衡量利率变化对债券价格的变动百分比的影响
\[D_{mod} = - \frac{dB/B}{dr} = \frac{D_{mac}}{1+r} =\frac{D_{mac}}{1+y/m} \]
证明过程：已知\(B=\sum^n_{t=1}C_ie^{-yt_i}\)(\(B=\sum^n_{t=1}\frac{C_t}{(1+r)^t}\))， 对于B求导
\[\frac{∆B}{B} \approx - D_{mod}\times∆y \]
\[\frac{∆B}{B} \approx -D_{mac}\times\frac{∆y}{1+y} \]
债券组合
- 债券组合的久期D被定义为组合中所有单个债券久期的加权平均数，权重与相应债券价格成正比。上述关系同样适用于债券组合的价值 B，可以衡量所有债券的收益率发生某一变化 ∆y 时债券组合价值的变化。
- 债券组合的久期包含一个隐含假设：所有债券的收益率的变化都大致相同。
- 金融机构常常通过确保其资产久期等于其负债久期来对沖其面临的利率风险(即净久期为0，但资产组合对于利率较大的平行移动和非平行移动仍有风险敞口。
4.9 曲率
久期仅适用于收益率变化很小的情况。对于给定的久期，当债券组合提供的收人均匀地分布在很长时间区间上时，组合的曲率一般是最大的；而当收入都集中在某一个时间附近时，曲率会最小。通过选择使净久期与净曲率为零的资产与债务组合，金融机构可以使自身对零息利率曲线相对较大的平行移动所引起的风险得到免疫，然而组合仍含有零息曲线非平行移动所带来的风险。
\[Convexity = \frac{1}{B}\frac{d^2B}{dr^2}=\sum^n_{t=1}\frac{C_ie^{-yt_i}t^2}{B} \]
Taylor Expansion: $$\frac{∆B}{B} \approx - D_{mod}x∆y + \frac{1}{2}xConvexity x ∆y^2 $$
4.10 利率期限结构理论
(1）三种利率期限结构理论
- 预期理论，认为长期利率应该反映未来短期利率的期望值。更精确地说，它认为未来一段时期的远期利率应该等于对该时期的即期利率的期望值。
- 市场分割理论，认为短期、中期和长期利率之问不存在联系。在该理论中，主要投资者，如大型养老基金只投资一定期限的债券，并且不会转而投资其他期限的债券。短期利率是由短期债券市场上的供求决定的：中期利率是由中期债券市场上的供求决定的：长期利率是由长期债券市场上的供求决定的。
- 流动性偏好理论，认为远期利率总是会高于未来零息利率的期望值。该理论的基本假设是投资者偏好于保持流动性，并愿意进行短期投资，另一方面，借款人希望可以按一个固定利率借入长期资金。如果由银行和其他金融中介机构提供的利率报价符合预期理论，那么长期利率应该等于预期未来短期利率的平均值。在缺乏动机的条件下，投资者倾向于进行短期投资，而借款人倾向于借入长期资金。中介通过短期存款为相当多的长期固定利率货款提供了融资，从而导致了过高的利率风险，所以金融中介会在未来短期利率期望值的基础上再增加一定量来确定长期利率。
(2）净利息收入管理
净利息收入是指利息收入与利息支出的差，银行必须妥善管理净利息收入。资产负债管理部门的职责就是将带来收入的资产期限与带来利息费用的负债期限进行匹配。
(3）流动性
投资组合期限的不匹配会造成流动性困难。
5.1 投资资产的远期价格
\(T\): 远期或期货合约到期期限（年）
\(r\)：按连续复利的无风险零息利率，利率的期限对应于合约的交割日
\(S_0\)：远期或期货合约标的资产的当前价格
\(F_0\)：远期或期货合约的当前价格
a. 无中间收入
\[F_0=S_0e^{rT} \]
- 如果\(F_0>S_0e^{rT}\)，套利者可以买入资产并进入远期合约的空头来进行套利；如果\(F_0<S_0e^{rT}\)，套利者可以卖空（卖出）资产并进入远期合约的多头来进行套利
- 远期合约名头与即期购买的结果都是在时间7拥有一份资产。买人并在远期期限内持有资产会带来融资成本，因此远期价格会高于即期价格
例：
证明一：
证明二：
b. 有中间收入，已知现金
\(I\): 投资资产在远期合约期限内提供的收入贴现值，
\[F_0=(S_0-I)e^{rT} \]
例：
证明一：
证明二：
c. 有中间收入，已知收益率
\(q\):资产在远期合约期限内的平均年收益率，复利
\[F_0=S_0e^{(r-q)T} \]
例：
5.2 远期合约的定价
- 在刚刚进人远期合约时，其价值为0。但在进人合约之后，远期合约价值可能为正也可能为负。
- 假设\(K\)是以前成交的合约的交割价格，\(f\)为远期合约今天的价值。
- 如果今天正好是合约的最初成交日，那么交割价格\(K\)等于远期价格\(F_0\)，合约的价值\(f\)是0。随着时间的推移，\(K\)保持不变（因为它已经被合约确定），但远期价格\(F_0\)将会变动，而且远期合约的价值\(f\)可以变成或正或负。
对于远期合约的多头方（投资资产和消费资产)，合约的价值是:
\[f=(F_0-K)e^{-rT} \]
可以看出资产在远期合约到期时的价格等于远期价格（远期合约在T时的收益与f一致）
例：
证明：
因此，
- 在没有中间收入的资产上的远期合约多头价值为：
\[f=S_0-Ke^{-rT}\]
- 在提供贴现值为I的已知收入的投资资产上远期合约多头价值为：
\[f=S_0-I-Ke^{-rT}\]
- 提供收益率为q的投资资产上的远期合约价值为：
\[f=S_0e^{-qT}-Ke^{-rT}\]
5.3 股指期货的定价
股指可以看成支付股息的投资资产，通常假定股息为已知收益率/
如果\(q\)为股息收益率（期货合约期限中平均的股息年收益率），则
\[F_0 =S_0e^{(r-q)T}\]
期货价格按照r-q的速度随期限增长
5.4 商品期货的定价
对于消费性资产，我们不可能将期货价格表达为即期价格和其他市场可观察变量的函数。这时，所谓的资产便利收益率变得十分重要，这参数是用于衡量商品的用户拥有实际资产比仅持有期货合约而带來额外好处的程度。这些好处包括从商品在本地哲时短缺中获利，以及保持生产线正常运作的能力，等等。我们可以从套利理论中得出消费性资产期货价格的上限，但无法建立期货价格与即期价格之问的等式。
a. 考虑储存费用
\(U\): 期货期限之间所有去掉收入后贮存费用的贴现值
\[F_0=(S_0+U)e^{rT}\]
或
\(u\): 除去资产所挣取的所有收益率后贮存费用占即期价格的比例
\[F_0=S_0e^{(r+u)T}\]
b. 消费商品
当持有商品的主要目的不是为了投资时，以上的讨论不再适用。当个人和公司持有商品的目的是为了其消费价值而不是为了其投资价值，他们不愿意在即期市场出售商品并买人期货合约，因为远期和期货合约并不能用于加工或其他形式的消费。
\[F_0≤(S_0+U)e^{rT}\]
\[F_0≤S_0e^{(r+u)T}\]
c. 便利收益率
因为商品持有者可能会认为持有商品比期货合约能带来更多的便利，因此存在持有商品而带来的好处（便利收益率）。
\(U\): 期货期限之间所有去掉收入后贮存费用的贴现值
\(u\): 除去资产所挣取的所有收益率后贮存费用占即期价格的比例
\(y\): 便利收益率
\[F_0e^{yT}=(S_0+U)e^{rT}\]
\[F_0e^{yT}=S_0e^{(r+u)T}\]
便利收益率反映了市场对将来能够购买商品的可能性的期望。商品短缺的可能性越大，便利收益率就越高。如果商品的用户拥有大量库存，在不久的将来出现商品短缺的可能性便会很小，这时便利收益率也会比较小。但从另一方面讲，较低的库存会导致较高的便利收益率
5.5 持有成本
期货价格与即期价格之间的关系式可由持有成本(cost of carrying）这一术语来描述。持有成本包括贮存成本加上资产的融资利息，再减去资产的收益。
- 对于无股息的股票而言，持有成本为\(r\)，这是因为股票既没有贮存费用也没有中间收入；
- 对于股指而言，持有成本为\(r-q\)，因为股指收益率为\(q\)。
- 对于货币而言，持有成本为\(r-r_f\)：
- 对于提供中间收益率q 和贮存成本率为u 的资产而言，持有成本为\(r-q+u\)
定义持有成本为\(c\)，便利收益率为\(y\)， - 对于投资资产，期货价格满足：
\[F_0=S_0e^{cT} \]
- 对于消费产品，期货价格满足：
\[F_0=S_0e^{(c-y)T} \]
5.6 期货价格与预期未来即期价格
我们将市场对于在将来某时刻资产即期价格的一般观点称为资产在这一时刻的即期价格期望值 (expected spot price）。
期货价格在到期时会收敛到即期价格。如果即期价格期望值小于期货价格，市场预料期货价格将会下跌，因此持有期货空头的交易员会有盈利，而持有期货多头的交易员会有亏损。如果即期价格期望值大于期货价格，这时情况会相反：市场预料期货价格会上升，因此持有期货多头的交易员会有盈利，而持有期货空头的交易员会有亏损。
a. 凯恩斯和希克斯
如果对冲者倾向于持有空头而投机者倾向于持有多头，那么资产期货价格会低于未来即期价格期望值。这是因为投机者因承担风险而会索取收益，投机者只有在预期产生盈利时才会进行交易。对冲者平均来讲会有损失，因为期货可以减小风险，所以对冲者更容易接受这个事实。
b. 风险收益
如果假设资本资产定价模型成立，期货价格与未来即期价格期望值之间的关系取决于即期价格与股票市场的总体价格水平具有正的相关性还是负的相关性。正相关性会使期货价格低于未来即期价格期望值，负相关性会使得期货价格高于未来即期价格期望值。只有在相关性为0时，理论期货价格才等于未来即期价格的期望值
- 现货溢价(normal back wardation）
当期货价格低于将来即期价格期望值(当前即期价格) - 期货溢价（contango）
当期货价格高于將来即期价格期望值(当前即期价格)
10.1 期权的定义
分为两种基本类型，看涨期权和看跌期权
- 看涨期权（Call Option / 认购期权） ：持有者有权在将来某一特定时间以某一特定价格买入某种资产
- 看跌期权（Put Option / 认沽期权） ：持有者有权在将来某一特定时间以某一特定价格卖出某种资产
按照是否需要在期权到期日才能执行，分为美式期权和欧式期权：
- 美式期权（American Option）：期权持有人在到期日前任何时间或者在期权合约存续期间内都可以选择行权的合约
- 欧式期权（European Option）：期权持有人只有在到期日才能选择是否行权的合约
股票交易所大部分都是美式期权
- 期权定义中提到的特定价格，在期权合约中被称为执行价格或敲定价格（exercise price/strike price，行权价格或敲定价格）
- 期权定义中提到的特定时间称为到期日或满期日（expiration date/maturity ）
- 卖出期权也被称为沽出期权，期权承约(writing the option)
如果S 为股票价格，K 为执行价格，期权可分为
- 实值期权 (in-the-money option)
对于看涨期权，当S>K时为实值期权
对于看跌期权，当S<K时为实值期权 - 平值期权(at-the-money option）
对于看涨期权，S=K时为平值期权
对于看跌期权，当 S=K时为平值期权 - 虛值期杈(out-of-the-money option)。
对于看涨期权，S<K时为虚值期权
对于看跌期权，当S>K时为虚值期权
只有在期权为实值期权时才会被行使。在没有交易费用的前提下，一个实值期权在没有提前行使的前提下，在到期时总是会被行使。
期权的整体价值等于内涵价值与时间价值的和
- 一个期权的内涵价值 (intrinsic vaiue〉定义为假设期权立即被行使时具有的价值。一个看涨期权的内涵价值为 max(S-K，0)，一个看跌期权的内涵价值为min(K-S, 0)。
- 期权持有者可以马上行使期权来实现其内涵价值。通常一个实值美式期权的持有者最好的做法是等待而不是立即执行期权，这时期权被称为具有时间价值 (Time value）。
10.2 期权的头寸
期权市场中有4类参与者：
(1)看涨期权的买入方（持有人、 多头）；
(2)看涨期权的卖出方（空头）
(3)看跌期权的买入方 （持有人、多头)
(4)看跌期权的卖出方（空头）
期权的买入方称为持有多头，期权的卖出方称为持有空头。
期权多头只有权利而无义务，相比之下，远期和期货合约中的双方必须要买入或卖出基础资产。期权多头必须向空头付出一定费用（即期权费(premium））才能拥有权利 ，相比之下，达成远期或期货合约时则不需要支付类似的费用。
执行价格上升时，看涨期权价格下降，看跌期权价格上升
看涨期权多头和看跌期权空头的收益为: \(max(S_T-K,0)\)
- 看涨期权空头和看跌期权多头的收益为: \(min(K-S_T,0)\)
link 对于期权定价时，常用方法是构造二叉树，即用树状图表现在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径。二叉树模型假设了股票价格服从随机游走，即股票价格以某种概率会向上移动一定的比率，同时以某种概率会向下移动一定的比率。当步长足够小时，股票价格趋于对数正态分布，也就是 Black-Scholes-Merton 模型的假设。因此，用二叉树估计的期权价格收敛于 Black-Scholes-Merton 模型的定价。
13.1 无套利定价
在无套利机会时，无风险投资组合的收益率等于无风险利率
利用无套利定价与二叉树模型得出期权价格：
- 构造无风险投资组合（收益确定，上涨收益=下跌收益）
- 令无风险投资组合收益率=无风险利率
期权定价公式中没有涉及股票上涨或下跌的概率，这是因为未来股票上涨与下跌的概率已经反映在它的价格中
13.2 风险中性定价
风险中性定价：对衍生品定价时，我们可以假设投资者是风险中性（即预期收益率不随风险增长而增长）
- 虽然现实世界是风险厌恶世界，但风险厌恶只会使股票价格下跌，不会改变将期权价格和股票价格联系起来的公式
- 在风险中性世界，股票（或任何投资）的收益率期望等于无风险利率
利用风险中性方法定价时，
- 计算各种结果发生的概率及衍生产品的收益期望值
- 将期望值用无风险利率进行贴现，即为衍生品的价格
13.3 两步二叉树
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