- 写在前面：因为能力和记忆有限，为方便以后查阅，特写看上去 “不太正经” 的随笔。随笔有 “三” 随：随便写写；随时看看；随意理解。
1.先从矩阵(Matrix)谈起：
什么是矩阵？这里直接上一张二维矩阵的图。
所谓矩阵，无非就是像矩形那样方阵排列。
横向走的我们定义为列(column)，图示有两列，分别以2、3开头。
纵向走的我们定义为行(raw)，图示有两行，分别以2、4开头。
二维数组这种数据结构无异，因此可以对应表示，记 A 为这个矩阵，Aij表示第 i 行，第 j 列（图示A12表示第1行第2列的元素，即为3）。
i = j 时的矩阵被称为方阵，这是今天我们所谈的关系矩阵及关系性质应满足的第一个条件。
方阵二维数组表示的C++通用定义：
int **a;//a即为矩阵名
int n;
cin>>n;//n表示矩阵的维度，供我们输入赋值
a = new int*[n+1];//先给a开辟行方向上的空间,从a[0]至a[n],实则从a[1]开始使用
for (int i =1; i<=n; i++) a[i]=new int[n+1];//每行开辟列空间
//以下嵌套for循环给矩阵赋予初始值0
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
a[i][j] = 0;
布尔矩阵，这是今天讨论的关系矩阵及关系性质应满足的第二个条件。
注： 换句话说，以下的讨论均基于布尔方阵这个前提，并不是所有关系矩阵都需要满足该前提，这点很重要。
2.关于关系矩阵(为方便理解，会引入部分关于图论的知识，但都基于表层)
几个关系矩阵的实例：
关系矩阵中的0代表不存在关系，1表示存在关系。关系矩阵是一个关系的一种表现形式。
矩阵的维度n表示可以存在关系的元素个数，例如图中a，b皆为 4✖4 的矩阵，维度为4，故可以存在4种元素(就是下面关系图中的圆圈，我们称之为结点)，使得每2个元素间的关系可以用矩阵表示出来。元素编号记为1~n，图示即为1，2，3，4，相同行相同列代表相同元素编号。
上面没看懂也不要紧，为了更直观地观察我们采用关系图进行讲解：
对于矩阵A，若Aij=1，即表示存在 i 到 j 的关系，关系图中可以理解为存在 i 到 j 的道路，在图上以有向边的形式呈现。
例如关系矩阵a中，a11，a23值为1，在关系图a中存在带箭头的边，从编号为1的结点出发指向1；从编号为2的结点出发指向3，以此下去，2到2，3到2，3到3，4到4。
再看关系图b我们进行反推，1到2，2到3，3到4，4到1；说明b12= b23= b34= b41=1，对照关系矩阵b，符合。
3.关系的性质(依然可结合上面的关系矩阵和关系图进行理解)
1）自反性(reflexive)
所有元素值都为1，可见关系矩阵a；
每个结点存在自环，即每个结点都存在从自身出发指向自身的有向边，可见关系图a。
因此，关系a具有自反性。
2）非自反性(irreflexive)
所有元素值为0，可见关系矩阵b；
每个结点都没有自环，可见关系图b。
因此，关系b具有非自反性。
3）对称性(symmetric)
没有要求，可见关系矩阵a；
自环以及双向箭头(即若存在2到3的关系，必然存在3到2的关系)两种，可见关系图a。
因此，关系a具有对称性。
4）非对称性(asymmetric)
任意两个元素，要么全0，要么一个0一个1，不存在全1的情况，对角线上元素必须全为0，可见关系矩阵b；
每个元素都无自环，可见关系图b。
因此，关系b具有非对称性。
5）反对称性(antisymmetric)
任意两个元素，要么全0，要么一个0一个1，不存在全1的情况，对角线上元素没有规定，可见关系矩阵b；
不强求必须存在，可见关系图b。
因此，关系b具有反对称性。
6）传递性(transitive)
关系矩阵上，若Aij=1，则矩阵A第 i 行与第 j 列元素两两对应之积的总和大于等于1，即两两对应的元素中存在1✖1这种情况。以关系矩阵a为例，a23=1，取该矩阵第2行(0110)与第3列(0110)元素对 应相乘求和，0✖0+1✖1+1✖1+0✖0=2 ≥ 1，验证a上每一个值为1的元素，所有均满足则具有传递性。
所有边满足这个性质的才具有传递性。
照上述思路可以验证关系a具有传递性。
- 小插曲：
线性代数中的矩阵只有对称与反对称两种，分别对应aij= aji，aij= - aji两种条件（这里 i，j 任取，可相等，故反对称矩阵主对角线全为0），这里注意不要混淆。
