名词解释
二叉树的名词解释:
- 根：树顶端的节点称为根。一棵树只有一个根，如果要把一个节点和边的集合称为树，那么从根到其他任何一个节点都必须有且只有一条路径。A是根节点。
- 父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；B是D的父节点。
- 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；D是B的子节点。
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；比如上图的D和E就互称为兄弟节点。
- 叶节点：没有子节点的节点称为叶节点，也叫叶子节点，比如上图的E、H、L、J、G都是叶子节点。
- 子树：每个节点都可以作为子树的根，它和它所有的子节点、子节点的子节点等都包含在子树中。
- 节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。
- 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
- 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；
深度与高度的区别在于： 深度为根到节点的距离，而高度是节点到叶的距离(记住根深叶高)。
- 结点的度：结点拥有的子树的数目
- 叶子结点：度为0的结点
- 分支结点：度不为0的结点
- 树的度：树中结点的最大的度
- 层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1
- 树的高度：树中结点的最大层次
- 森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。
分类
斜树
所有的结点都只有左子树（左斜树），或者只有右子树（右斜树）。这就是斜树，应用较少
满二叉树
所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。就是完美圆满的意思，关键在于树的平衡。
根据满二叉树的定义，得到其特点为：
- 叶子只能出现在最下一层。
- 非叶子结点度一定是2.
- 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。
完全二叉树
对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树，反过来不一定成立。
其中关键点是按层序编号，然后对应查找。
在上图中，树1，按层次编号5结点没有左子树，有右子树，10结点缺失。树2由于3结点没有字数，是的6,7位置空挡了。树3中结点5没有子树。
上图就是一个完全二叉树。
结合完全二叉树定义得到其特点：
- 叶子结点只能出现在最下一层（满二叉树继承而来）
- 最下层叶子结点一定集中在左 部连续位置。
- 倒数第二层，如有叶子节点，一定出现在右部连续位置。
- 同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小（满二叉树也是对的）。
根据下图加深理解，什么时候是完全二叉树。
二叉树的性质
一般二叉树性质
- 在非空二叉树的i层上，至多有2i-1个节点(i>=1)。通过归纳法论证。
- 在深度为K的二叉树上最多有2k-1个结点（k>=1)。通过归纳法论证。
- 对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为n0，度数为2的节点个数为n2，则有: n0 = n2 + 1
证明：在一棵二叉树中，除了叶子结点（度为0）之外，就剩下度为2(n2)和1(n1)的结点了。则树的结点总数为T = n0+n1+n2;在二叉树中结点总数为T，而连线数为T-1.所以有：n0+n1+n2-1 = 2*n2 +n1;最后得到n0 = n2+1;
上图中结点总数是10，n2为4，n1为1，n0为5。
完全二叉树性质
a、具有n的结点的完全二叉树的深度为log2n+1.
满二叉树是完全二叉树，对于深度为k的满二叉树中结点数量是2k-1 = n，完全二叉树结点数量肯定最多2k-1,同时完全二叉树倒数第二层肯定是满的（倒数第一层有结点，那么倒是第二层序号和满二叉树相同），所以完全二叉树的结点数最少大于少一层的满二叉树，为2k-1-1。
根据上面推断得出： 2k-1-1< n=<2k-1，因为结点数Nn为整数那么n<=2k-1可以推出n<=2k ,n>2k-1-1可以推出 n>=2k-1,所以2k-1<n<=2k 。即可得k-1<=log2n<k 而k作为整数因此k=[log2n]+1。
b、如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i（1<=i<=n）有
- 如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲节点为[i/2]，向下取整
- 如果2i>n那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i
- 如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1
在上图中验证
第一条：
当i=1时，为根节点。当i>1时，比如结点为7，他的双亲就是7/2= 3；结点9双亲为4.
第二条：
结点6,6*2 = 12>10，所以结点6无左孩子，是叶子结点。结点5，5*2 = 10，左孩子是10,结点4，为8.
第三条：
结点5，2*5+1>10,没有右孩子，结点4，则有右孩子。
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树,除了它的子节点不能超过两个以外,它还拥有如下特点:
- 一个节点的左子节点的关键字的值永远小于该节点的值
- 一个节点的右子节点的关键字的值永远大于等于该节点的值
二叉搜索树关键字的排序方式
从图还可以看出,二叉搜索树的最小值就是它的最左节点的关键字的值,而最大值则是它的最右节点的值.
二叉搜索树的查找、新增、删除的效率为O(logN)(这是理想状态下,如果树是不平衡的效率会降到O(N),后面会介绍).
二叉搜索树之所以效率高就在于:
- 它的数据是按照上述的有序的方式排列的.
- 进行新增、查找、删除的时候使用了二分查找法.
二叉树的实现
二叉树中数据是保存在一个个的节点中的,下面是保存数据的节点类:
package BinaryTree1;
public class Node {
// 用来进行排序的关键字数组
int sortData;
// 其他类型的数据
int other;
// 该节点的左子节点
Node leftNode;
// 该节点的右子节点
Node rightNode;
public static void main(String[] args) {
Node node = new Node();
System.out.println("node.leftNode = " + node.leftNode);
System.out.println(node.leftNode);
}
}在二叉搜索树这个类中新增、修改、删除数据:
public class Tree {
// 根节点
Node root;
public Tree(Node root) {
this.root = root;
}
// 新增、查找、删除 暂时省略,下面会一一介绍
}新增数据
在二叉树中插入数据的流程如下:
/* 新增数据 */
public void insertData(Node node) {
int currentSortData = root.sortData;
Node currentNode = root;
Node currentLeftNode = root.leftNode;
Node currentRightNode = root.rightNode;
int insertSortData = node.sortData;
while (true) {
if (insertSortData < currentSortData) {
if (currentLeftNode == null) {
currentNode.leftNode = node;
break;
} else {
currentNode = currentNode.leftNode;
currentSortData = currentNode.sortData;
}
} else {
if (currentRightNode == null) {
currentNode.rightNode = node;
break;
} else {
currentNode = currentNode.rightNode;
currentSortData = currentNode.sortData;
}
}
}
System.out.println("root = " + root);
}查找方法
流程与插入方法类似.
public void query(int sortData) {
Node currentNode = root;
while (true) {
if (sortData != currentNode.sortData) {
if (sortData < currentNode.sortData) {
if (currentNode.leftNode != null) {
currentNode = currentNode.leftNode;
} else {
System.out.println("对不起没有查询到数据");
}
} else {
if (currentNode.rightNode != null) {
currentNode = currentNode.rightNode;
} else {
System.out.println("对不起没有查询到数据");
}
}
} else {
System.out.println("二叉树中有该数据");
}
}
}删除方法
删除节点要分三种情况.
- 删除节点无子节点的情况
- 删除节点有一个子节点的情况
- 删除节点有两个子节点的情况
删除节点无子节点的情况是最简单的,直接将该节点置为null就可以了:
删除节点有一个子节点的情况:
最复杂的删除节点有两个子节点的情况,删除流程如下:
删除后:
为什么要以这种方式删除节点呢? 再次回顾一下二叉搜索树的特点:
- 一个节点的左子节点的关键字的值永远小于该节点的值
- 一个节点的右子节点的关键字的值永远大于等于该节点的值
之所以要找删除节点的右子节点的最后一个左节点,是因为这个值是删除节点的子节点中最小的值,为了满足上面的这两个特点,所以删除要以这种算法去实现.
public boolean delete(int deleteData) {
Node curr = root;
Node parent = root;
boolean isLeft = true;
while (deleteData != curr.sortData) {
if (deleteData <= curr.sortData) {
isLeft = true;
if (curr.leftNode != null) {
parent = curr;
curr = curr.leftNode;
}
} else {
isLeft = false;
if (curr.rightNode != null) {
parent = curr;
curr = curr.rightNode;
}
}
if (curr == null) {
return false;
}
}
// 删除节点没有子节点的情况
if (curr.leftNode == null && curr.rightNode == null) {
if (curr == root) {
root = null;
} else if (isLeft) {
parent.leftNode = null;
} else {
parent.rightNode = null;
}
// 删除节点只有左节点
} else if (curr.rightNode == null) {
if (curr == root) {
root = root.leftNode;
} else if (isLeft) {
parent.leftNode = curr.leftNode;
} else {
parent.rightNode = curr.leftNode;
}
// 如果被删除节点只有右节点
} else if (curr.leftNode == null) {
if (curr == root) {
root = root.rightNode;
} else if (isLeft) {
parent.leftNode = curr.rightNode;
} else {
parent.rightNode = curr.rightNode;
}
} else {
Node successor = getSuccessor(curr);
if (curr == root) {
root = successor;
} else if (curr == parent.leftNode) {
parent.leftNode = successor;
} else {
parent.rightNode = successor;
}
successor.leftNode = curr.leftNode;
}
return true;
}
public Node getSuccessor(Node delNode) {
Node curr = delNode.rightNode;
Node successor = curr;
Node sucParent = null;
while (curr != null) {
sucParent = successor;
successor = curr;
curr = curr.leftNode;
}
if (successor != delNode.rightNode) {
sucParent.leftNode = successor.rightNode;
successor.rightNode = delNode.rightNode;
}
return successor;
}遍历
遍历二叉树中的数据,有三种遍历方式:
- 前序（先序）
- 中序(最常用)
- 后续
前序、中序和后序三种遍历方式的步骤是相同的,只是顺序不同.
前序遍历顺序:
- 先输出当前节点
- 再遍历左子节点
- 再遍历右子节点
中序遍历顺序:
- 先遍历左子节点
- 再输出当前节点
- 再遍历右子节点
后序遍历顺序:
- 先遍历左子节点
- 再遍历又子节点
- 再输出当前节点
什么当前节点?什么左右子节点?太抽象!!!!没关系继续看图.
前序遍历输出顺序图:
中序遍历输出顺序图:
后序遍历输出顺序图:
可以看出所谓的前中后序是输出当前节点的顺序,前序是在第一个输出当前节点,中序是第二个输出当前节点,后序是第三个当前节点.
又因为中序遍历是按照关键值由小到大的顺序输出的,所以中序遍历最为常用.
前、后序遍历在解析或分析二叉树(不是二叉搜索树)的算术表达式的时候比较有用,用的不太多,看下图:
二叉树的效率
我们用二叉树与数组和链表进行对比,在有100w个数据项的无序数组或链表中,查找数据项平均会比较50w次,但在有100w个节点的树中,只需要20(或更少)次的比较.
有序数组可以很快的找到数据项,但插入数据项平均需要移动50w个数据项,在100w个节点的树中插入数据项需要比较20或更少次的比较,再加上很短的时间来连接数据项.
同样,从有100w个数据项的数组中删除一个数据项需要平均移动50w个数据项,而在100w个节点的树中删除节点只需要20次或更少的比较来找到它,再加上(可能的话)一点比较的时间来找到它的后继,一点时间来断开这个节点的链接,以及连接它的后继.
结论: 树对所有常用的数据存储操作都有很高的效率
遍历不如其他操作快. 但是,遍历在大型数据库中不是常用的操作.它更长用于程序中的辅助方法来解析算术或其他的表达式,而且表达式一般都不会很长.
如果二叉树是平衡的,它的效率为: O(logN),如果二叉树是不平衡的(最极端的情况,存入树中的数据是升序或降序排列的,那么二叉树就是链表),效率为: O(N)
所以二叉搜索树在保存随机数值的时候,效率才是最高的
二叉树的缺点
如果二叉树是极端不平衡的(此时的二叉树就是一个链表),它的效率为O(N),即使数值是随机的,如果数据的量够大,也有可能有一部分的数值是有序的(就像你抛硬币的时间足够长,会有一段时间出现一只抛正面或反面),造成二叉树会变成使局部不平衡的,这样它的效率会介于O(logN)到O(N).
