单位冲激信号的频谱响应Python代码 单位冲激信号的频谱是

（三）奇异信号的频谱

常见的奇异信号有单位冲激信号、单位直流信号、符号函数以及单位阶跃信号，它们往往是组成复杂信号的基本信号。它往往不完全满足狄利赫里条件，因此，通常用求极限的方法得到其频谱。

1. 单位冲激信号

由于冲激函数的抽样特性，有
$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-jwt}dt=e^0=1$
所以单位冲激信号的频谱为常数1，即
$\delta(t) \overset{F}{\leftrightarrow}1$
以上结果也可由单矩形脉冲取极限得到。如果把单位冲激信号视为幅度为$\frac{1}{\tau}$，宽度为$\tau$的矩形脉冲当$\tau \to 0$时的极限，由前面的讨论可知，其频谱可由下式求出
$X(w)=F[\delta(t)]=lim_{\tau\to 0}\frac{1}{\tau}·\tau Sa(\frac{w\tau}{2})=1$
在时域中冲激信号在$t=0$处幅度发生巨大的变化，在频域中表现为具有极其丰富的频率成分，以至频谱占据整个频率域，且成均匀分布，常称之为均匀频谱或白色频谱，如下图所示。

2. 单位直流信号

幅度为1的直流信号表示为
$x(t)=1 \quad -\infty<t<\infty$
显然该信号不满足绝对可积条件，可以把它看做双边指数信号$e^{-a|t|}(a>0)$当$a\to 0$时的极限，如下图，$a_1>a_2>a_3>a_4=0$（单位直流信号。因此单位直流信号的傅里叶变换是$e^{-a|t|}(a>0)$的频谱当$a\to 0$时的极限，如下图。

前面已求得

$F[e^{-a|t|}]=\frac{2a}{a^2+w^2}$

故有

$X(w)=lim_{a\to 0}\frac{2a}{a^2+w^2}= \begin{cases} 0 & w\neq 0 \\ \infty & w=0 \end{cases}$

表明$X(w)$是w的冲激函数，其强度为

$lim_{a\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2a}{a^2+w^2}dw=lim_{a\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{1+(\frac{w}{a})^2}d(\frac{w}{a}) \\ =lim_{a\to 0}2arctan(\frac{w}{a})|_{-\infty}^{\infty}=2\pi$

所以有$X(w)=2\pi \delta(w)$，即

$1 \overset{F}{\leftrightarrow} 2\pi\delta(w)$

3. 符号函数信号

符号函数记作$sgn(t)$，其定义为
$sgn(t)= \begin{cases} -1 & t<0 \\ 0 & t=0 \\ 1 & t>0 \end{cases}$
显然也不满足绝对可积条件，与单位直流信号类似，可以把符号函数信号看成是双边奇指数信号当$a\to 0$时的极限，如下图所示，$a_1>a_2>a_3>a_4=0$。因此符号函数信号的傅里叶变换应该是双边奇指数信号的频谱当$a\to 0$时的极限，如下图所示。

双边奇指数信号的频谱为$-j\frac{2w}{a^2+w^2}$，故有

$X(w)=lim_{a\to 0 }[-j\frac{2w}{a^2+w^2}]= \begin{cases} \frac{2}{jw} & w\neq 0 \\ 0 & w=0 \end{cases}$

即

$sgn(t)\leftrightarrow \frac{2}{jw}(w\neq 0)$

4. 单位阶跃信号

该信号也不满足绝对可积的条件，可把它视为单边指数信号当$a\to 0$时的极限，因此其频谱应该是单边指数信号的频谱当$a\to 0$时的极限。已求得单边指数信号的频谱为$\frac{1}{a+jw}$，故有

$X(w)=lim_{a\to 0}\frac{1}{a+jw} \\ =lim_{a\to 0}\frac{a}{a^2+w^2}+lim_{a\to 0}j\frac{-w}{a^2+w^2}$

式中，实部为

$lim_{a\to 0}\frac{a}{a^2+w^2}= \begin{cases} 0 & w\neq 0 \\ \infty & w=0 \end{cases}$

虚部为

$lim_{a\to 0}\frac{-jw}{a^2+w^2}= \begin{cases} \frac{1}{jw} & w\neq 0 \\ 0 & w=0 \end{cases}$

可见$X(w)$在$w=0$处为实冲激函数，其强度为

$lim_{a\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{a^2+w^2}dw=\pi$

当$w\neq 0$处为虚函数$\frac{1}{jw}$，所以有$X(w)=\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}$，即

$u(t) \overset{F}{\leftrightarrow} \pi \delta(w)+\frac{1}{jw}$