求解了非小角单摆(数学摆)的周期,破除中学物理5度神话。是不是可以看成单摆,不是看是不是摆角小于5度,而是看计时仪器的精度。
参考:
- Moshe Gitterman,THE CHAOTIC PENDULUM,Chaper 1
- 非线性振动初步
体系
如图所示,体系由一个轻质细杆和末端带有的质点组成,细杆长\(l\),质点质量为\(m\)。
图为数学摆
设摆角为\(\phi\),忽略所有阻力和摩擦力,有
整理得
令\(\omega_0=\sqrt{g/l}\),上式即为
上式两边乘以\(\frac{d\phi}{dt}\),
上式对\(t\)积分,得
积分常数\(E\)的物理意义是摆的能量。\(E\)选得摆在最低点时势能为0。
在最大角位移\(\phi_0\)处,角速度\(\frac{d\phi}{dt}=0\),代入\eqref{energy}式,得
将上式代入\eqref{energy}式,得
设\(t=0\)时,\(\phi=0\),经过1/4周期,\(t=T/4\)时,摆到达最大位移\(\phi=\phi_0\)。对\eqref{dphidt}式积分,有
即
上式用到了\(\cos\phi=1-2\sin^2(\phi/2)\)。
令
\(\phi\)的变化范围是从0到\(\phi_0\),那么\(\psi\)的变化范围是从0到\(\pi/2\)。再考虑到\(\cos(\phi/2)/2d\phi=\sin(\phi_0/2)\cos\psi d\psi\),代入\eqref{intphi}有
将上式中的被积函数展开成级数,
代入\eqref{intpsi},右边
代入\eqref{intpsi},考虑到小角摆动周期为\(T_0=2\pi/\omega_0\),得数学摆的周期为
可见,周期与摆幅\(\phi_0\)有关。只有当摆幅\(\phi_0\)非常小的时候,周期才与摆幅无关。下表是周期与摆幅的对应的关系:
\(\phi_0\) | \(0^{\circ}\) | \(3^{\circ}\) | \(5^{\circ}\) | \(10^{\circ}\) | \(30^{\circ}\) | \(45^{\circ}\) |
\(T/T_0\) | 1 | 0.0002 | 1.0005 | 1.0019 | 1.0174 | 1.0369 |
即便摆幅很小,\(\phi_0\lt 5^{\circ}\),周期也是随摆幅而变的。即便摆幅比较大,如\(\phi_0 = 45^{\circ}\),周期也只是比0摆幅极限下的周期\(T_0\)多了3.7%而已。
中学物理讲单摆有个\(5^{\circ}\)神话,即要求单摆摆幅要小于\(5^{\circ}\)。应该是因为中学物理实验室的计时仪器最高能精确到毫秒的原因吧。如果计时仪器只能精确到秒,摆幅\(45^{\circ}\)也是可以的。