高维欧式空间的拓扑结构
n维欧式空间上的范数与距离
从本节开始,我们从一元微积分部分进入多元微积分部分。一元微积分的研究对象是实数域及实数域上的函数。多元微积分就建立在n维欧式空间上,研究n维欧式空间上多元函数。同样地,我们要把极限、连续性、可微性和积分推广到高维空间上,那么,应当如何推广呢?
实际上,在一维空间上,极限定义为。在高维空间上,也有类似于绝对值的概念,实际上,可以表示为线段到的长度,就是到之间线段的长度,两个点做差的绝对值,就是两个点之间的距离。在维欧式空间中,长度的定义是:
我们把维向量就简记为,长度就记为,两个n维空间的点的距离就定义为
维欧式空间上长度有如下性质:
(1),并且的充要条件为
(2)对任意的实数,
(3)
容易验证,绝对值就满足这三条性质。这样,两个点之间的距离定义为,就有如下性质:
(4),的充要条件是
(5)
实际上,满足(1)-(3)的函数称为范数,满足(4)-(5)的二元函数称为度量或距离。实际上只要有度量,就可以定义收敛,泛函分析的起点,就是从度量开始,而有范数,就可以产生度量。这样,我们就可以把收敛的概念,从一维实空间,推广到高维欧式空间。
有了度量,就可以定义邻域,又称开邻域:
定义13.1 为维欧式空间,,,称集合
为以为中心,为半径的邻域
当然,邻域和度量的选取有关,但在泛函分析中,我们会证明,任意两个范数是等价的,也就是说:如果是的两个度量,那么,存在正数,对任意的,都有
也就是说,只要度量是由范数诱导的,那么两个度量的邻域是相互包含的关系。后面我们会用度量来定义收敛性,由于由范数诱导产生的两个度量是等价的,那么,在两个度量之下的收敛性,都是一致的,收敛性和范数的选取没有关系。因此,我们后面范数选取的都是欧式范数,度量选取的是欧式度量。
n维欧式空间的点列收敛
有了度量,就可以定义收敛性。
定义13.2 是上的点列,如果存在,对任意的,存在正整数,,都有
记为
按照上面的定义,实际上,等价于。更一般地,假设:,这样,有
如果,那么,,这就说明了,如果,那么,各分量都收敛到的各分量,反过来也成立。也就是说,维欧式空间上的收敛性,就等价于依坐标收敛。这样,n维欧式空间上的收敛性,实际上就可以化成数列收敛来考虑。另外,由于不同范数都是等价的。容易证明,两个范数的收敛性是等价的,这样,就不用考虑范数的选择问题。只要在欧式范数下是收敛的,选任何范数都是收敛的。
n维欧式空间上的开闭集
维欧式空间上也可以定义开集和闭集。相关性质和定义都和一维欧式空间的开闭集是一致的。
定义13.3 是维欧式空间的点集,
(1)如果存在,,称为的内点,全体内点的集合称为的内部
(2)如果对任意的,,,则称是的边界点,全体边界点的集合称为的边界
(3)如果存在,,则称是的外点,全体外点的集合称为的外部
定义13.4 是维欧式空间的点集,如果的每个点都是的内点,则称是开集,补集是开集的点集称为闭集
定理13.1 维欧式空间上的开集有如下性质:
(1)和是开集
(2)有限个开集的交集是开集
(3)任意个开集的并集是开集
定理13.2 维欧式空间上的闭集有如下性质:
(1)和是闭集
(2)有限个闭集的并是闭集
(3)任意个闭集的交是闭集
定义13.5 是维欧式空间的点集,,如果的任意去心邻域都有的点,即:
则称是的聚点,全体聚点的集合称为的导集,记为,集合称为的闭包
定理13.3 是维欧氏空间上的点集
(1)是闭集的充要条件是
(2)是闭集的充要条件是
现在,我们要引入连通性的概念。
定义13.6 是上的点集,如果的任意两点都有一条折线,这两个折线上每一点都在内,则称为连通集,既是连通集,又是开集,则称是区域,区域的闭包称为闭区域
怎么定义有界性呢,实际上,在一维情形下,有界性等价于存在一个点的邻域,能将集合盖住。同样地,可以定义维欧式空间的有界集。
定义13.7 是维欧式空间上的点集,如果存在,,则称是有界集。
有界区域和有界闭区域就是一维空间的开区间和闭区间。只不过,在高维情况下,区域的形状更复杂了。
n维欧式空间上的基本定理
现在,我们给出维欧式空间上的基本定理,这些定理的证明和一维情形比较类似,我们仅列出。
定理13.4(柯西收敛定理) 是完备的,即是收敛列的充要条件是:,,时,都有
定理13.5 的任意有界无穷集都有聚点
定理13.6 任意有界点列都有收敛子列
定理13.7(闭集套定理)是的有界闭集列,满足:
(1)
(2)是渐降列
存在唯一的,
定理13.8(有限覆盖定理) 是有界闭集,是的开覆盖,那么一定存在有限个
多元函数及其连续性
多元函数的极限
多元函数的极限及性质
所谓多元函数,就是欧式空间上的函数,就记为。定义域是维欧式空间上的点集。只不过,1维情形下,我们要求到某点的极限存在,则该点的去心邻域都要在定义域之内。然而,在多元函数情形下,由于区域的状况十分复杂,我们,只要求,该点是定义域的一个聚点即可。
定义13.8 是一个定义在上的元函数,如果,存在实数,对任意的,存在,对任意的,都有
则称在过程中收敛,是在过程的极限,记为
同样地,可以定义在某点的连续性:
定义13.9 是定义在上的元函数,并且是的一个聚点,如果
则称在上连续,如果在上每个点都连续(如果是孤立点,则规定就在该点上连续),则称在上连续
类似于一维情形,高维情形的函数极限和点列极限也有如下的关系
定理13.9 是定义在上的元函数,,则的充分必要条件是对任意的,,都有
这是一个至关重要的定理,它表明了,多元情形下的函数收敛是各个方面的,全面的函数收敛,就体现在,不论如何选取点列,只要点列是收敛到的点,那么一定收敛到,在一维情形下,趋向于某点,只有从右和从左两个方向,而高维情形下,却远远不止两个方向,就这个层面而言,多元微积分比一元微积分,又多了这个层面的复杂性。该定理是我们判断极限不存在的重要依据,只要取得两个点列,收敛的极限不一样,或者某个点列对应的函数值数列不收敛,就可以断定,多元函数的极限不存在。
但要判断某个多元函数的极限存在,用上面的定理是相当困难的,困难在要验证任意性,但是,只要我们确定了极限存在,就可以选取某一个特殊的点列,将问题转化为一元数列的收敛,这是这个定理的意义所在。
一维情形下函数极限的性质,可以原封不动地推广到高维情形,由于证明过程类似,我们仅列出定理,不作详细的证明。
定理13.10
(1)函数极限是唯一的
(2)(局部有界性)函数在某个过程的极限存在,那么在某个时刻之后函数是有界的
(3)(不等式性质)函数和在某个过程的极限存在,并且存在某个时刻,在该时刻之后,有,则
(4)(不等式性质2)函数和在某个过程的极限存在,并且,则存在某个时刻,在该时刻之后,有
(5)(局部保号性1)函数在某个过程的极限存在,在某个时刻之后,有,则
(6)(局部保号性2)函数在某个过程的极限存在,,则在某个时刻之后,有
(7)函数极限的四则运算性质都成立
(8)(夹逼准则)函数和在某个过程的极限都等于,并且在该过程的某个时刻之后,都有,则在该过程的极限存在,并且
类似地,可以同一维情形一样,定义无穷小量和无穷大量,定义和性质类似,这里就不详细地列出\
下面,我们给出一些多元函数极限存在性判断以及求解的例子:
例13.1 设,求证:
证:
由三角不等式:
因此:
对任意的,当时,就有
例13.2 ,证明在处极限不存在
证:
时,就有
故:\
而时,,因此,在
处不收敛。
累次极限和全面极限的区别
累次极限就是指对各个变元分别,累次地求极限。这样,就可以化成一元函数的极限来对多元函数进行求解,那么,能不能这样做呢?答案是否定的,原因是累次极限和全面极限没有必然的联系,下面我们会举例说明这点。
1.累次极限存在,全面极限不存在:
例13.3 ,我们已经证明了其在处全面极限不存在,然而,当时,,从而
累次极限存在,全面极限不存在
为什么会出现累次极限存在,全面极限不存在的情况呢?原因是因为累次极限只是其中的一种趋近方式,至少在二元情形下,趋向于某一个点的方向非常复杂,其中一种方向的极限,不能说明全面极限的存在。
2.全面极限存在,累次极限不存在
例13.4 在处全面极限为,而时,不存在。
可见累次极限也不是单纯地从某一个方向的趋近,第一次累次极限不一定有意义,从而累次极限,也不一定存在,然而,全面极限确是可能存在的。
那么,两者到底有没有联系呢?实际上,如果两者都存在,那么,一定是相等的。
定理13.11 若在的某个去心邻域上有定义,当时,极限
存在,如果并且在处极限也存在,那么极限
也存在
证:
设对任意的,存在,当时,都有
当时,只要,就有
由极限的不等式性质
这样就证明了:
在前面极限存在的情况下,只要累次极限存在(不论是何种求极限的次序),所求的结果都是一致的,然而,全面极限不存在的情况下,以不同的次序求累次极限,结果可能不同。
例13.5 在处的极限不存在,但两个累次极限都存在
因此,不同求极限次序,得到的结果都不相同,反过来,如果在不同次序下求极限的结果不相同,那么累次极限一定不存在。这就是多元函数“方向全面”的含义。
多元连续函数及其性质
多元情形下连续函数的性质,和一元是类似的。只不过在一元情形下是“闭区间”上的连续函数,原因是,一元情形下,闭区域就等价于闭区间,而在多元情形下,闭区域却可以有纷繁复杂的几何图形,因此,我们再多元情形下,主要考察的是有界闭区域上的连续函数。
定理13.12 和是都是定义在上的元函数,在内并且是的聚点
(1)和在上连续,则在上连续
(2)和在上连续,则在上连续
(3)和在上连续,,则在上连续
其次,我们要考虑元函数的复合,只不过,在多元情形下,复合的情况比较复杂,下面,我们引入向量函数的概念。
定义13.10 上的点集到上的映射称为元维向量函数
实际上,元维向量函数,可以看成个元函数组成一个向量,即:
我们不是没有接触过向量函数,实际上,平面曲线的参数方程形式,就是一个元维向量函数。我们将向量函数的极限,定义为各个分量的多元函数的极限,向量函数在上连续就定义为各个分量函数在上连续。当然,你可以以度量的形式给出向量函数的极限和连续性,容易证明,两种极限和连续性的定义是等价的。
定理13.13 在的某个邻域有定义且在处连续,元维向量函数在的某个邻域上有定义,并且在上连续,同时,满足:
(1)
(2)
则在上连续
该定理的证明,和一维情形完全类似,只不过引入了向量函数的连续性的概念,这里给出详细的证明。
类似于一元函数情形,多元函数也有类似于一元函数的性质:
定理13.14 维欧式空间上有界闭集上的连续函数是有界的,并且可取得最大值和最小值
定理13.15 维欧式空间上有界闭集上的连续函数是一致连续的
定理13.16 维欧式空间上有界闭区域上的连续函数值域是一个闭区间
这三个定理是我们求多元函数最值的重要依据。