内容提要:
1 齐次线性差分方程
1-1 一阶齐次线性差分方程
1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)
1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)
1-4 齐次线性差分方程
2 线性差分方程
3 例子
本文主要参考文献.
由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.
注:由于阶数为
或者
以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定
阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由
阶情形照搬证明过去.
1 齐次线性差分方程
1-1 一阶齐次线性差分方程
称如下形式的方程为序列
的一阶齐次线性差分方程：
,式中
为实数.
显然这个
方程的解为
.
为任意实数.
1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)
称如下形式的方程为序列
的二阶齐次线性差分方程：
,式中
为实数.
[特征方程与特征根] 我们把矩阵
的特征多项式
称为齐次线性差分方程
的
特征方程，而它的两个根
（可能有重根）叫做
特征根.
[特解]
(
) 为方程的特解.
[证明] 由
，两边同时乘以
，得
因此
（
）满足原方程.
1-2-1 不等特征根情形
如果
, 那么，方程
的通解为
.
[证明] 由于
所以对任意的常数
, 我们都有
是方程
的解.
还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值
，有
这个关于
的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为
所以给定初值
，就能唯一确定系数
.
1-2-2 相等特征根情形
如果
, 那么，方程
的通解为
.
[证明] 由于
是特征多项式
的二重根 ,所以它也是
的二重根. 把
的两边对
求导，得
，因为重根求导之后仍为根，所以
是
的根，两边乘以
得到
也是
的根，即
也是特解. 容易验证
都是方程
的解.
还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值
，有
这个关于
的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为
所以给定初值
，就能唯一确定系数
.
1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)
延续上一节的记号.
(i) 若特征方程有两不等实根
，那么这个
方程的解为
.
为任意实数.
(ii) 若特征方程有两相等实根
，那么这个
方程的解为
.
为任意实数.
(iii) 若特征方程有两共轭复根
那么两个特解为
，由欧拉公式有
特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解
与
, 因此通解为
.
1-4 齐次线性差分方程
[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列
的齐次线性差分方程：
( )
式中，
,
为实数.
[特征方程与特征根] 我们把矩阵
的特征多项式
称为齐次线性差分方程 ( ) 的
特征方程，而它的
个
非零根
（可能有重根）叫做
特征根.
如果
为两两不等的实根, 那么，方程 ( ) 的通解为
.
2 线性差分方程
[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列
的线性差分方程：
( )
式中，
,
为实数而
为
的已知函数. 并且称方程:
( )
为( )的导出齐次线性差分方程.
线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.
3 例子
[例1] (等差数列) 等差数列
为一阶线性差分方程.
它的导出齐次方程为
, 特征根为
. 于是导出齐次方程的解为
.
猜测原方程的一个特解为
, 那么全部解为
[例2]
.
它的导出齐次方程为
, 特征根为
. 于是导出齐次方程的解为
.
猜测原方程的一个特解为
, 那么全部解为
