反向传播算法（Backpropagation）是目前用来训练人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）的最常用且最有效的算法。其主要思想是：
（1）将训练集数据输入到ANN的输入层，经过隐藏层，最后达到输出层并输出结果，这是ANN的前向传播过程；
（2）由于ANN的输出结果与实际结果有误差，则计算估计值与实际值之间的误差，并将该误差从输出层向隐藏层反向传播，直至传播到输入层；
（3）在反向传播的过程中，根据误差调整各种参数的值；不断迭代上述过程，直至收敛。
反向传播算法的思想比较容易理解，但具体的公式则要一步步推导，因此本文着重介绍公式的推导过程。
1. 变量定义
上图是一个三层人工神经网络，layer1至layer3分别是输入层、隐藏层和输出层。如图，先定义一些变量：
表示第
层的第
个神经元连接到第
层的第
个神经元的权重；
表示第
层的第
个神经元的偏置；
表示第
层的第
个神经元的输入，即：
表示第
层的第
个神经元的输出，即：
其中
表示激活函数。
2. 代价函数
代价函数被用来计算ANN输出值与实际值之间的误差。常用的代价函数是二次代价函数（Quadratic cost function）：
其中，
表示输入的样本，
表示实际的分类，
表示预测的输出，
表示神经网络的最大层数。
3. 公式及其推导
本节将介绍反向传播算法用到的4个公式，并进行推导。 如果不想了解公式推导过程，请直接看第4节的算法步骤。
首先，将第
层第
个神经元中产生的错误（即实际值与预测值之间的误差）定义为：
本文将以一个输入样本为例进行说明，此时代价函数表示为：
公式1（计算最后一层神经网络产生的错误）：
其中，
表示Hadamard乘积，用于矩阵或向量之间点对点的乘法运算。公式1的推导过程如下：
公式2（由后往前，计算每一层神经网络产生的错误）：
推导过程：
公式3（计算权重的梯度）：
推导过程：
公式4（计算偏置的梯度）：
推导过程：
4. 反向传播算法伪代码
- 输入训练集
- 对于训练集中的每个样本x，设置输入层（Input layer）对应的激活值
：
- 前向传播：
，
- 计算输出层产生的错误：
- 反向传播错误：
- 使用梯度下降（gradient descent），训练参数：
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反向传播算法（Backpropagation）是目前用来训练人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）的最常用且最有效的算法。其主要思想是：
（1）将训练集数据输入到ANN的输入层，经过隐藏层，最后达到输出层并输出结果，这是ANN的前向传播过程；
（2）由于ANN的输出结果与实际结果有误差，则计算估计值与实际值之间的误差，并将该误差从输出层向隐藏层反向传播，直至传播到输入层；
（3）在反向传播的过程中，根据误差调整各种参数的值；不断迭代上述过程，直至收敛。
反向传播算法的思想比较容易理解，但具体的公式则要一步步推导，因此本文着重介绍公式的推导过程。
1. 变量定义
上图是一个三层人工神经网络，layer1至layer3分别是输入层、隐藏层和输出层。如图，先定义一些变量：
表示第
层的第
个神经元连接到第
层的第
个神经元的权重；
表示第
层的第
个神经元的偏置；
表示第
层的第
个神经元的输入，即：
表示第
层的第
个神经元的输出，即：
其中
表示激活函数。
2. 代价函数
代价函数被用来计算ANN输出值与实际值之间的误差。常用的代价函数是二次代价函数（Quadratic cost function）：
其中，
表示输入的样本，
表示实际的分类，
表示预测的输出，
表示神经网络的最大层数。
3. 公式及其推导
本节将介绍反向传播算法用到的4个公式，并进行推导。 如果不想了解公式推导过程，请直接看第4节的算法步骤。
首先，将第
层第
个神经元中产生的错误（即实际值与预测值之间的误差）定义为：
本文将以一个输入样本为例进行说明，此时代价函数表示为：
公式1（计算最后一层神经网络产生的错误）：
其中，
表示Hadamard乘积，用于矩阵或向量之间点对点的乘法运算。公式1的推导过程如下：
公式2（由后往前，计算每一层神经网络产生的错误）：
推导过程：
公式3（计算权重的梯度）：
推导过程：
公式4（计算偏置的梯度）：
推导过程：
4. 反向传播算法伪代码
- 输入训练集
- 对于训练集中的每个样本x，设置输入层（Input layer）对应的激活值
：
- 前向传播：
，
- 计算输出层产生的错误：
- 反向传播错误：
- 使用梯度下降（gradient descent），训练参数：
